Номер 6, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 6, страница 93.

Условие.

6. Решите уравнение:

1) $49x^2 - 84x + 36 = 0$;

Решение.

Представим левую часть уравнения в виде квадрата разности:

Так как значение квадрата равно нулю тогда и только тогда, когда его основание равно нулю, то получаем:

Ответ:

2) $100x^2 + 60x + 9 = 0$;

3) $64x^2 - 240x + 225 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $49x^2 - 84x + 36 = 0$

Решение.

Представим левую часть уравнения в виде квадрата разности. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем уравнении первый член $49x^2$ можно представить как $(7x)^2$, а последний член $36$ как $6^2$. Таким образом, можно предположить, что $a = 7x$ и $b = 6$.

Проверим средний член. По формуле он должен быть равен $-2ab$.

$-2 \cdot (7x) \cdot 6 = -84x$.

Это совпадает со средним членом в исходном уравнении. Значит, левую часть уравнения можно свернуть в полный квадрат разности.

$(7x - 6)^2 = 0$.

Так как значение квадрата равно нулю тогда и только тогда, когда его основание равно нулю, то получаем:

$7x - 6 = 0$

$7x = 6$

$x = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

2) $100x^2 + 60x + 9 = 0$

Решение.

Данное уравнение можно решить, представив его левую часть в виде квадрата суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Первый член $100x^2 = (10x)^2$, значит $a = 10x$. Последний член $9 = 3^2$, значит $b = 3$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $2ab$.

$2 \cdot (10x) \cdot 3 = 60x$.

Средний член совпадает, следовательно, уравнение можно записать в виде:

$(10x + 3)^2 = 0$.

Квадрат выражения равен нулю, если само выражение равно нулю:

$10x + 3 = 0$

$10x = -3$

$x = -\frac{3}{10} = -0.3$

Ответ: $-0.3$.

3) $64x^2 - 240x + 225 = 0$

Решение.

Представим левую часть уравнения в виде квадрата разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Первый член $64x^2 = (8x)^2$, значит $a = 8x$. Последний член $225 = 15^2$, значит $b = 15$.

Проверим, совпадает ли средний член с $-2ab$.

$-2 \cdot (8x) \cdot 15 = -240x$.

Совпадение есть, поэтому уравнение можно переписать так:

$(8x - 15)^2 = 0$.

Приравниваем основание квадрата к нулю:

$8x - 15 = 0$

$8x = 15$

$x = \frac{15}{8}$

Ответ: $\frac{15}{8}$.