Номер 18, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 18, страница 90.

Условие.

18. Известно, что целое число $n$ не кратно 3. Докажите, что значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3.

Решение.

Поскольку число $n$ не кратно 3, то можно записать, что $n = 3k + 1$

или $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое число.

При $n = 3k + 1$ получаем: $n^2 + 8 = (3k + 1)^2 + 8 =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Поскольку целое число $n$ не кратно 3, то при делении на 3 оно может давать остаток 1 или 2. Это означает, что число $n$ можно представить в одном из двух видов, где $k$ — некоторое целое число:

• $n = 3k + 1$
• $n = 3k + 2$

Рассмотрим оба случая, чтобы доказать утверждение.

Случай, когда $n = 3k + 1$

Подставим это выражение в $n^2 + 8$ и выполним преобразования. Продолжим вычисление, начатое в условии:

$n^2 + 8 = (3k + 1)^2 + 8 = (9k^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2) + 8 = (9k^2 + 6k + 1) + 8 = 9k^2 + 6k + 9$.

Теперь вынесем общий множитель 3 за скобки:

$9k^2 + 6k + 9 = 3(3k^2 + 2k + 3)$.

Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $(3k^2 + 2k + 3)$ также является целым числом. Следовательно, всё выражение $3(3k^2 + 2k + 3)$ делится на 3 нацело, то есть кратно 3.

Случай, когда $n = 3k + 2$

Аналогично подставим это выражение в $n^2 + 8$:

$n^2 + 8 = (3k + 2)^2 + 8 = (9k^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2) + 8 = (9k^2 + 12k + 4) + 8 = 9k^2 + 12k + 12$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$9k^2 + 12k + 12 = 3(3k^2 + 4k + 4)$.

Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $(3k^2 + 4k + 4)$ также является целым числом. Следовательно, всё выражение $3(3k^2 + 4k + 4)$ кратно 3.

Мы рассмотрели все возможные случаи для целого числа $n$, не кратного 3, и в каждом из них доказали, что значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.