Номер 14, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 14, страница 88.

Условие.

14. Найдите четыре последовательных целых числа, если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 10 больше, чем произведение первого и третьего.

Решение.

Пусть наименьшее из искомых чисел равно $x$. Тогда следующие за ним три числа равны соответственно

Исходя из условия задачи, можем записать уравнение

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Пусть наименьшее из искомых целых чисел равно $x$. Тогда следующие за ним три последовательных числа равны соответственно $x+1$, $x+2$ и $x+3$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов второго ($x+1$) и четвёртого ($x+3$) чисел на 10 больше, чем произведение первого ($x$) и третьего ($x+2$). Составим и решим уравнение:

$(x+1)^2 + (x+3)^2 = x(x+2) + 10$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулы квадрата суммы и распределительный закон:

$(x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 6x + 9) = x^2 + 2x + 10$

Приведём подобные слагаемые в левой части:

$2x^2 + 8x + 10 = x^2 + 2x + 10$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$2x^2 - x^2 + 8x - 2x + 10 - 10 = 0$

$x^2 + 6x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, разложив его левую часть на множители:

$x(x+6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 + 6 = 0 \implies x_2 = -6$

Таким образом, существуют две последовательности чисел, удовлетворяющие условию задачи.

1. При $x = 0$

Искомые числа: $0$, $1$, $2$, $3$.

2. При $x = -6$

Искомые числа: $-6$, $-5$, $-4$, $-3$.

Проверим оба решения:

Для последовательности $0, 1, 2, 3$: сумма квадратов второго и четвёртого равна $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. Произведение первого и третьего равно $0 \cdot 2 = 0$. Число $10$ больше числа $0$ на $10$. Решение верное.

Для последовательности $-6, -5, -4, -3$: сумма квадратов второго и четвёртого равна $(-5)^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$. Произведение первого и третьего равно $(-6) \cdot (-4) = 24$. Число $34$ больше числа $24$ на $10$. Решение верное.

Ответ: $0, 1, 2, 3$ или $-6, -5, -4, -3$.