Страница 88 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

13. На отрезке длиной 20 см построены два квадрата. Площадь одного квадрата на 160 $\text{см}^2$ больше площади другого. Найдите сторону каждого квадрата.

Пусть сторона квадрата, площадь которого меньше, равна $x \text{ см}$. Тогда сторона второго квадрата равна см.

Пусть сторона меньшего квадрата равна $x$ см. Согласно рисунку, сумма сторон двух квадратов составляет 20 см. Следовательно, сторона большего квадрата будет равна $(20 - x)$ см.

Площадь меньшего квадрата равна $S_1 = x^2$ см², а площадь большего квадрата $S_2 = (20 - x)^2$ см².

По условию задачи, разница между площадями составляет 160 см². Составим уравнение: $S_2 - S_1 = 160$, то есть $(20 - x)^2 - x^2 = 160$.

Для решения уравнения удобно применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 20-x$ и $b = x$. Получаем: $((20 - x) - x) \cdot ((20 - x) + x) = 160$.

Упростим выражение в скобках: $(20 - 2x) \cdot 20 = 160$.

Теперь разделим обе части уравнения на 20: $20 - 2x = \frac{160}{20}$, $20 - 2x = 8$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$: $2x = 20 - 8$, $2x = 12$, $x = \frac{12}{2}$, $x = 6$.

Таким образом, мы нашли сторону меньшего квадрата, она равна 6 см.

Сторона большего квадрата будет равна $20 - x = 20 - 6 = 14$ см.

Ответ: стороны квадратов равны 6 см и 14 см.

14. Найдите четыре последовательных целых числа, если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 10 больше, чем произведение первого и третьего.

Решение.

Пусть наименьшее из искомых чисел равно $x$. Тогда следующие за ним три числа равны соответственно

Исходя из условия задачи, можем записать уравнение

Решение.

Пусть наименьшее из искомых целых чисел равно $x$. Тогда следующие за ним три последовательных числа равны соответственно $x+1$, $x+2$ и $x+3$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов второго ($x+1$) и четвёртого ($x+3$) чисел на 10 больше, чем произведение первого ($x$) и третьего ($x+2$). Составим и решим уравнение:

$(x+1)^2 + (x+3)^2 = x(x+2) + 10$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулы квадрата суммы и распределительный закон:

$(x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 6x + 9) = x^2 + 2x + 10$

Приведём подобные слагаемые в левой части:

$2x^2 + 8x + 10 = x^2 + 2x + 10$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$2x^2 - x^2 + 8x - 2x + 10 - 10 = 0$

$x^2 + 6x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, разложив его левую часть на множители:

$x(x+6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 + 6 = 0 \implies x_2 = -6$

Таким образом, существуют две последовательности чисел, удовлетворяющие условию задачи.

1. При $x = 0$

Искомые числа: $0$, $1$, $2$, $3$.

2. При $x = -6$

Искомые числа: $-6$, $-5$, $-4$, $-3$.

Проверим оба решения:

Для последовательности $0, 1, 2, 3$: сумма квадратов второго и четвёртого равна $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. Произведение первого и третьего равно $0 \cdot 2 = 0$. Число $10$ больше числа $0$ на $10$. Решение верное.

Для последовательности $-6, -5, -4, -3$: сумма квадратов второго и четвёртого равна $(-5)^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$. Произведение первого и третьего равно $(-6) \cdot (-4) = 24$. Число $34$ больше числа $24$ на $10$. Решение верное.

Ответ: $0, 1, 2, 3$ или $-6, -5, -4, -3$.