Страница 89 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

15. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 9 равен 3, то квадрат этого числа делится нацело на 9.

Пусть $n$ — натуральное число, которое по условию при делении на 9 дает в остатке 3. Такое число можно представить в виде формулы:

$n = 9k + 3$

где $k$ — это неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом ($k \in \{0, 1, 2, ...\}$).

Теперь найдем квадрат этого числа, $n^2$:

$n^2 = (9k + 3)^2$

Для раскрытия скобок применим формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$n^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 3 + 3^2$

Выполним вычисления:

$n^2 = 81k^2 + 54k + 9$

Чтобы доказать, что $n^2$ делится на 9 нацело, необходимо показать, что 9 является множителем в этом выражении. Вынесем 9 за скобки:

$n^2 = 9(9k^2 + 6k + 1)$

Так как $k$ — целое число, то и выражение в скобках $(9k^2 + 6k + 1)$ также является целым числом. Обозначим его за $m$. Тогда мы получаем:

$n^2 = 9m$

Это выражение по определению означает, что $n^2$ является кратным числу 9, то есть делится на 9 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Если число $n$ можно представить как $n = 9k + 3$, то его квадрат равен $n^2 = (9k + 3)^2 = 81k^2 + 54k + 9 = 9(9k^2 + 6k + 1)$. Поскольку выражение в скобках является целым числом, $n^2$ всегда делится на 9 нацело.

16. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3$ кратно 4.

Решение.

Разложим данное выражение на множители

$(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3 =$

Решение.

Для доказательства того, что выражение $(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3$ кратно 4 при любом натуральном $n$, необходимо упростить данное выражение.

Разложим данное выражение на множители. Для этого вынесем общий множитель $(n-1)$ за скобки:

$(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3 = (n - 1) \cdot [ (n^2 + 1) - (n - 1)^2 ]$

Теперь раскроем квадрат разности в квадратных скобках, используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(n - 1)^2 = n^2 - 2n + 1$

Подставим полученное выражение обратно и упростим выражение в квадратных скобках:

$(n - 1) \cdot [ (n^2 + 1) - (n^2 - 2n + 1) ] = (n - 1) \cdot ( n^2 + 1 - n^2 + 2n - 1 )$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(n - 1) \cdot ( (n^2 - n^2) + 2n + (1 - 1) ) = (n - 1) \cdot (2n)$

В результате преобразований мы получили выражение $2n(n - 1)$.

Теперь проанализируем полученное выражение на кратность 4. Выражение $n(n - 1)$ представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел. Среди двух последовательных натуральных чисел одно всегда четное, а другое — нечетное. Рассмотрим два возможных случая:

1. Если $n$ — четное число, то оно делится на 2. Следовательно, произведение $n(n - 1)$ делится на 2.

2. Если $n$ — нечетное число, то $(n - 1)$ является четным числом и делится на 2. Следовательно, произведение $n(n - 1)$ также делится на 2.

Таким образом, произведение $n(n - 1)$ всегда является четным числом, то есть его можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое натуральное число. Тогда исходное выражение равно $2 \cdot (2k) = 4k$.

Поскольку выражение $4k$ при любом натуральном $k$ делится на 4 без остатка, мы доказали, что исходное выражение кратно 4 при любом натуральном $n$.

Ответ: Исходное выражение $(n^2 + 1)(n - 1) - (n - 1)^3$ преобразуется к виду $2n(n-1)$. Произведение двух последовательных натуральных чисел $n(n-1)$ всегда четно (делится на 2), поэтому все выражение $2n(n-1)$ всегда делится на $2 \cdot 2 = 4$. Следовательно, утверждение доказано.