Страница 90 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

17. Остаток при делении натурального числа a на 7 равен 4. Чему равен остаток при делении на 7 квадрата этого числа?

Решение.

Пусть неполное частное при делении числа а на 7 равно х.

Тогда $a =$

Найдём квадрат числа а:

$a^2 = ($ $)^2 =$

Ответ:

Решение.

По условию задачи, остаток при делении натурального числа $a$ на 7 равен 4. Это означает, что число $a$ можно представить в виде $a = 7q + 4$, где $q$ — это неполное частное (целое неотрицательное число).

Пусть неполное частное при делении числа a на 7 равно x.

Тогда a = $7x + 4$.

Найдём квадрат числа a:

Для этого возведём в квадрат выражение для $a$, используя формулу квадрата суммы $(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$:

$a^2$ = ($7x+4$)$^2$ = $(7x)^2 + 2 \cdot 7x \cdot 4 + 4^2 = 49x^2 + 56x + 16$.

Теперь нам нужно найти остаток от деления выражения $49x^2 + 56x + 16$ на 7. Проанализируем каждое слагаемое:

• Слагаемое $49x^2$ делится на 7 без остатка, так как $49x^2 = 7 \cdot (7x^2)$.
• Слагаемое $56x$ делится на 7 без остатка, так как $56x = 7 \cdot (8x)$.
• Слагаемое 16 при делении на 7 даёт остаток. Найдём его: $16 = 7 \cdot 2 + 2$. Остаток равен 2.

Таким образом, всё выражение можно переписать так:

$a^2 = 7 \cdot (7x^2) + 7 \cdot (8x) + (7 \cdot 2 + 2)$

Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$a^2 = 7(7x^2 + 8x + 2) + 2$

Из полученного выражения видно, что первое слагаемое $7(7x^2 + 8x + 2)$ делится на 7 нацело, а второе слагаемое равно 2. Следовательно, остаток от деления $a^2$ на 7 равен 2.

Ответ: 2.

18. Известно, что целое число $n$ не кратно 3. Докажите, что значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3.

Решение.

Поскольку число $n$ не кратно 3, то можно записать, что $n = 3k + 1$

или $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое число.

При $n = 3k + 1$ получаем: $n^2 + 8 = (3k + 1)^2 + 8 =$

Поскольку целое число $n$ не кратно 3, то при делении на 3 оно может давать остаток 1 или 2. Это означает, что число $n$ можно представить в одном из двух видов, где $k$ — некоторое целое число:

• $n = 3k + 1$
• $n = 3k + 2$

Рассмотрим оба случая, чтобы доказать утверждение.

Случай, когда $n = 3k + 1$

Подставим это выражение в $n^2 + 8$ и выполним преобразования. Продолжим вычисление, начатое в условии:

$n^2 + 8 = (3k + 1)^2 + 8 = (9k^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2) + 8 = (9k^2 + 6k + 1) + 8 = 9k^2 + 6k + 9$.

Теперь вынесем общий множитель 3 за скобки:

$9k^2 + 6k + 9 = 3(3k^2 + 2k + 3)$.

Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $(3k^2 + 2k + 3)$ также является целым числом. Следовательно, всё выражение $3(3k^2 + 2k + 3)$ делится на 3 нацело, то есть кратно 3.

Случай, когда $n = 3k + 2$

Аналогично подставим это выражение в $n^2 + 8$:

$n^2 + 8 = (3k + 2)^2 + 8 = (9k^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2) + 8 = (9k^2 + 12k + 4) + 8 = 9k^2 + 12k + 12$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$9k^2 + 12k + 12 = 3(3k^2 + 4k + 4)$.

Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $(3k^2 + 4k + 4)$ также является целым числом. Следовательно, всё выражение $3(3k^2 + 4k + 4)$ кратно 3.

Мы рассмотрели все возможные случаи для целого числа $n$, не кратного 3, и в каждом из них доказали, что значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.