Страница 91 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

19. При каком значении $a$ уравнение $(4x + a)^2 + (3x + 2)^2 = (5x - 4)^2$ не имеет корней?

Решение.

Преобразуем данное уравнение:

$(4x + a)^2 + (3x + 2)^2 = (5x - 4)^2;$

$16x^2 +$

Решение

Для того чтобы найти значение параметра a, при котором данное уравнение не имеет корней, преобразуем его, раскрыв скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Исходное уравнение:

$(4x + a)^2 + (3x + 2)^2 = (5x - 4)^2$

Раскрываем скобки в каждой части уравнения:

$(16x^2 + 8ax + a^2) + (9x^2 + 12x + 4) = (25x^2 - 40x + 16)$

Сгруппируем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(16x^2 + 9x^2) + (8ax + 12x) + (a^2 + 4) = 25x^2 - 40x + 16$

$25x^2 + (8a + 12)x + a^2 + 4 = 25x^2 - 40x + 16$

Как видно, слагаемые, содержащие $x^2$, одинаковы в обеих частях уравнения. Вычтем $25x^2$ из обеих частей, чтобы их сократить:

$(8a + 12)x + a^2 + 4 = -40x + 16$

Теперь соберем все слагаемые с переменной x в левой части, а все постоянные члены — в правой (или, что то же самое, приведем уравнение к виду $Bx+C=0$):

$(8a + 12)x + 40x + a^2 + 4 - 16 = 0$

Вынесем x за скобки и приведем подобные слагаемые:

$(8a + 12 + 40)x + (a^2 - 12) = 0$

$(8a + 52)x + (a^2 - 12) = 0$

Мы получили линейное уравнение относительно x вида $Bx + C = 0$, где коэффициент при x равен $B = 8a + 52$, а свободный член равен $C = a^2 - 12$.

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной x равен нулю, а свободный член при этом отличен от нуля. То есть, должна выполняться система условий:

$\begin{cases} B = 0 \\ C \neq 0 \end{cases}$

В нашем случае это означает:

$\begin{cases} 8a + 52 = 0 \\ a^2 - 12 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, чтобы найти значение a:

$8a + 52 = 0$

$8a = -52$

$a = -\frac{52}{8} = -\frac{13}{2} = -6.5$

Теперь необходимо проверить, выполняется ли второе условие ($a^2 - 12 \neq 0$) при найденном значении a:

$(-6.5)^2 - 12 = 42.25 - 12 = 30.25$

Так как $30.25 \neq 0$, второе условие выполняется.

Следовательно, при $a = -6.5$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x + 30.25 = 0$, или $30.25 = 0$, что является неверным равенством и не имеет решений.

Ответ: $-6.5$

1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $a^2 + 20a + 100 = (\_ + \_)^2$

2) $16a^2 - 56ab + 49b^2 = \_$

3) $81m^2n^2 - 18mn + 1 = \_$

4) $4c^6 - 4c^3 + 1 = \_$

5) $25x^4 + 30x^2y^4 + 9y^8 = \_$

6) $2ab + 25a^2 + \frac{1}{25}b^2 = \_$

1) Чтобы представить трёхчлен $a^2 + 20a + 100$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном выражении первый член $x^2 = a^2$, следовательно, $x=a$.
Третий член $y^2 = 100$, следовательно, $y=10$.
Проверим, соответствует ли средний член формуле удвоенного произведения: $2xy = 2 \cdot a \cdot 10 = 20a$.
Так как все члены соответствуют формуле, получаем: $a^2 + 20a + 100 = (a + 10)^2$.
Ответ: $(a + 10)^2$.

2) Для выражения $16a^2 - 56ab + 49b^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 16a^2$, следовательно, $x=4a$.
Третий член $y^2 = 49b^2$, следовательно, $y=7b$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (4a) \cdot (7b) = 56ab$. Знак "минус" перед ним соответствует формуле квадрата разности.
Следовательно, $16a^2 - 56ab + 49b^2 = (4a - 7b)^2$.
Ответ: $(4a - 7b)^2$.

3) Для трёхчлена $81m^2n^2 - 18mn + 1$ применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 81m^2n^2$, следовательно, $x=9mn$.
Третий член $y^2 = 1$, следовательно, $y=1$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (9mn) \cdot 1 = 18mn$. Знак "минус" перед ним соответствует формуле.
Таким образом, $81m^2n^2 - 18mn + 1 = (9mn - 1)^2$.
Ответ: $(9mn - 1)^2$.

4) Выражение $4c^6 - 4c^3 + 1$ можно представить в виде квадрата двучлена с помощью формулы квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 4c^6 = (2c^3)^2$, следовательно, $x=2c^3$.
Третий член $y^2 = 1$, следовательно, $y=1$.
Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot (2c^3) \cdot 1 = 4c^3$. Знак "минус" соответствует формуле.
Значит, $4c^6 - 4c^3 + 1 = (2c^3 - 1)^2$.
Ответ: $(2c^3 - 1)^2$.

5) Для трёхчлена $25x^4 + 30x^2y^4 + 9y^8$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 25x^4 = (5x^2)^2$, следовательно, $x=5x^2$.
Третий член $y^2 = 9y^8 = (3y^4)^2$, следовательно, $y=3y^4$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (5x^2) \cdot (3y^4) = 30x^2y^4$. Он совпадает со средним членом в исходном выражении.
Следовательно, $25x^4 + 30x^2y^4 + 9y^8 = (5x^2 + 3y^4)^2$.
Ответ: $(5x^2 + 3y^4)^2$.

6) Переставим члены выражения $2ab + 25a^2 + \frac{1}{25}b^2$ для удобства: $25a^2 + 2ab + \frac{1}{25}b^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $x^2 = 25a^2$, следовательно, $x=5a$.
Третий член $y^2 = \frac{1}{25}b^2$, следовательно, $y=\frac{1}{5}b$.
Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{5}b) = 2ab$. Он совпадает со средним членом в исходном выражении.
Таким образом, $25a^2 + 2ab + \frac{1}{25}b^2 = (5a + \frac{1}{5}b)^2$.
Ответ: $(5a + \frac{1}{5}b)^2$.