Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

2. Найдите значение выражения, представив его предварительно в виде квадрата двучлена:

1) $c^2 + 36c + 324$, если $c = -8$;

2) $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6$, если $x = 4, y = -5$;

3) $a^4 + 2a^2 + 1$, если $a^2 + 1 = 3$;

4) $49a^2 - 14ab + b^2$, если $7a - b = 6$.

Решение.

1) $c^2 + 36c + 324 = ( + )^2$

При $c = -8$ имеем: $( + )^2 =$

1) $c^2 + 36c + 324$, если $c = -8$;

Для того чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном выражении первый член $c^2$ является квадратом $c$, а третий член $324$ является квадратом $18$ ($18^2 = 324$). Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению $c$ и $18$.

$2 \cdot c \cdot 18 = 36c$.

Так как средний член совпадает, выражение можно представить в виде квадрата суммы:

$c^2 + 36c + 324 = (c + 18)^2$.

Теперь подставим значение $c = -8$ в полученное выражение:

$(c + 18)^2 = (-8 + 18)^2 = 10^2 = 100$.

Ответ: 100

2) $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6$, если $x = 4, y = -5$;

Для преобразования выражения используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Первый член $\frac{1}{16}x^4$ является квадратом $\frac{1}{4}x^2$, так как $(\frac{1}{4}x^2)^2 = \frac{1}{16}x^4$. Таким образом, $a = \frac{1}{4}x^2$.

Третий член $16y^6$ является квадратом $4y^3$, так как $(4y^3)^2 = 16y^6$. Таким образом, $b = 4y^3$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (\frac{1}{4}x^2) \cdot (4y^3) = 2x^2y^3$.

Значит, выражение равно квадрату разности:

$\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6 = (\frac{1}{4}x^2 - 4y^3)^2$.

Подставим значения $x = 4$ и $y = -5$:

$(\frac{1}{4}(4)^2 - 4(-5)^3)^2 = (\frac{1}{4} \cdot 16 - 4(-125))^2 = (4 - (-500))^2 = (4 + 500)^2 = 504^2 = 254016$.

Ответ: 254016

3) $a^4 + 2a^2 + 1$, если $a^2 + 1 = 3$;

Представим выражение в виде квадрата двучлена по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении $a^4 = (a^2)^2$ и $1 = 1^2$. Пусть $x = a^2$ и $y = 1$.

Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot a^2 \cdot 1 = 2a^2$.

Выражение является полным квадратом:

$a^4 + 2a^2 + 1 = (a^2 + 1)^2$.

По условию задачи нам дано, что $a^2 + 1 = 3$. Подставим это значение в наше выражение:

$(a^2 + 1)^2 = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

4) $49a^2 - 14ab + b^2$, если $7a - b = 6$;

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении первый член $49a^2 = (7a)^2$, значит $x = 7a$.

Третий член $b^2 = (b)^2$, значит $y = b$.

Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (7a) \cdot b = 14ab$.

Таким образом, выражение можно записать как квадрат разности:

$49a^2 - 14ab + b^2 = (7a - b)^2$.

Из условия известно, что $7a - b = 6$. Подставим это значение в полученное выражение:

$(7a - b)^2 = 6^2 = 36$.

Ответ: 36

3. Заполните пропуск таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена.

1) $___ + 8a + a^2$

2) $16m^2 - 24mn + ___$

3) $9x^2 + ___ + 4$

4) $1,21a^2b^4 + ___ + 0,36b^6$

5) $a^4b^2 - 16a^3b^5 + ___$

6) $___ - a^7b^7 + \frac{25}{49}a^{10}b^8$

Чтобы заполнить пропуски, мы будем использовать формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) ___ $ + 8a + a^2$

Данное выражение соответствует формуле квадрата суммы. Перепишем его в стандартном виде: $a^2 + 8a +$ ___.

Здесь первый член в квадрате - это $a^2$. Удвоенное произведение первого члена на второй - это $8a$.

Пусть первый член двучлена равен $x=a$. Тогда удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot a \cdot y = 8a$. Отсюда находим второй член $y = \frac{8a}{2a} = 4$.

Пропущенный член - это квадрат второго члена, то есть $y^2 = 4^2 = 16$.

Получаем выражение: $16 + 8a + a^2 = (4+a)^2$.

Ответ: $16$

2) $16m^2 - 24mn + $ ___

Данное выражение соответствует формуле квадрата разности. Первый член в квадрате - это $16m^2$.

Пусть первый член двучлена равен $a = \sqrt{16m^2} = 4m$.

Удвоенное произведение первого члена на второй равно $24mn$. То есть, $2 \cdot a \cdot b = 2 \cdot (4m) \cdot b = 8mb = 24mn$.

Отсюда находим второй член $b = \frac{24mn}{8m} = 3n$.

Пропущенный член - это квадрат второго члена, то есть $b^2 = (3n)^2 = 9n^2$.

Получаем выражение: $16m^2 - 24mn + 9n^2 = (4m-3n)^2$.

Ответ: $9n^2$

3) $9x^2 + $ ___ $ + 4$

Это формула квадрата суммы. У нас есть квадраты двух членов: $9x^2$ и $4$.

Первый член двучлена $a = \sqrt{9x^2} = 3x$.

Второй член двучлена $b = \sqrt{4} = 2$.

Пропущенный член - это удвоенное произведение этих членов: $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot 2 = 12x$.

Получаем выражение: $9x^2 + 12x + 4 = (3x+2)^2$.

Ответ: $12x$

4) $1,21a^2b^4 + $ ___ $ + 0,36b^6$

Это формула квадрата суммы. У нас есть квадраты двух членов: $1,21a^2b^4$ и $0,36b^6$.

Первый член двучлена $x = \sqrt{1,21a^2b^4} = 1,1ab^2$.

Второй член двучлена $y = \sqrt{0,36b^6} = 0,6b^3$.

Пропущенный член - это удвоенное произведение этих членов: $2xy = 2 \cdot (1,1ab^2) \cdot (0,6b^3) = 1,32ab^5$.

Получаем выражение: $1,21a^2b^4 + 1,32ab^5 + 0,36b^6 = (1,1ab^2 + 0,6b^3)^2$.

Ответ: $1,32ab^5$

5) $a^4b^2 - 16a^3b^5 + $ ___

Это формула квадрата разности. Первый член в квадрате - $a^4b^2$.

Первый член двучлена $x = \sqrt{a^4b^2} = a^2b$.

Удвоенное произведение $2xy = 16a^3b^5$. То есть, $2 \cdot (a^2b) \cdot y = 16a^3b^5$.

Отсюда находим второй член $y = \frac{16a^3b^5}{2a^2b} = 8ab^4$.

Пропущенный член - это квадрат второго члена, $y^2 = (8ab^4)^2 = 64a^2b^8$.

Получаем выражение: $a^4b^2 - 16a^3b^5 + 64a^2b^8 = (a^2b - 8ab^4)^2$.

Ответ: $64a^2b^8$

6) ___ $ - a^7b^7 + \frac{25}{49}a^{10}b^8$

Это формула квадрата разности. Средний член (удвоенное произведение) равен $-a^7b^7$. Один из квадратов членов равен $\frac{25}{49}a^{10}b^8$.

Пусть $y^2 = \frac{25}{49}a^{10}b^8$. Тогда второй член двучлена $y = \sqrt{\frac{25}{49}a^{10}b^8} = \frac{5}{7}a^5b^4$.

Удвоенное произведение $2xy = a^7b^7$. Подставим $y$: $2 \cdot x \cdot (\frac{5}{7}a^5b^4) = a^7b^7$.

$\frac{10}{7}xa^5b^4 = a^7b^7$.

Находим $x$: $x = \frac{a^7b^7}{\frac{10}{7}a^5b^4} = \frac{7}{10}a^{7-5}b^{7-4} = \frac{7}{10}a^2b^3$.

Пропущенный член - это квадрат первого члена, $x^2 = (\frac{7}{10}a^2b^3)^2 = \frac{49}{100}a^4b^6$.

Получаем выражение: $\frac{49}{100}a^4b^6 - a^7b^7 + \frac{25}{49}a^{10}b^8 = (\frac{7}{10}a^2b^3 - \frac{5}{7}a^5b^4)^2$.

Ответ: $\frac{49}{100}a^4b^6$

4. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

1) $2x - x^2 - 1 = - (x^2 - 2x + 1) = $

2) $x^2 + xy + 0.25y^2 = $

3) $-1 - 169c^2 - 26c = $

4) $60xy + 36x^2 + 25y^2 = $

5) $-4a^6 - 225a^2b^4 + 60a^4b^2 = $

1) Для представления трёхчлена $2x - x² - 1$ в виде, противоположном квадрату двучлена, сначала вынесем знак минус за скобки: $2x - x² - 1 = -(x² - 2x + 1)$. Выражение в скобках $x² - 2x + 1$ является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности $(a-b)² = a² - 2ab + b²$, где $a = x$ и $b = 1$. $x² - 2 \cdot x \cdot 1 + 1² = (x - 1)²$. Таким образом, исходное выражение равно $-(x - 1)²$.
Ответ: $-(x - 1)²$

2) Трёхчлен $x² + xy + 0,25y²$ можно представить в виде квадрата двучлена, используя формулу квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$. Определим $a$ и $b$. Первый член $a² = x²$, следовательно, $a = x$. Третий член $b² = 0,25y² = (0,5y)²$, следовательно, $b = 0,5y$. Проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению $2ab$: $2ab = 2 \cdot x \cdot (0,5y) = xy$. Средний член совпадает, значит, выражение является полным квадратом суммы. $x² + xy + 0,25y² = (x + 0,5y)²$.
Ответ: $(x + 0,5y)²$

3) Рассмотрим трёхчлен $-1 - 169c² - 26c$. Сначала переставим его члены и вынесем знак минус за скобки: $-169c² - 26c - 1 = -(169c² + 26c + 1)$. Теперь преобразуем выражение в скобках, $169c² + 26c + 1$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$. $a² = 169c² = (13c)²$, значит $a = 13c$. $b² = 1 = 1²$, значит $b = 1$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot 13c \cdot 1 = 26c$. Выражение в скобках является полным квадратом: $(13c + 1)²$. Следовательно, исходное выражение равно $-(13c + 1)²$.
Ответ: $-(13c + 1)²$

4) Рассмотрим трёхчлен $60xy + 36x² + 25y²$. Переставим члены для удобства: $36x² + 60xy + 25y²$. Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$. Определим $a$ и $b$. $a² = 36x² = (6x)²$, значит $a = 6x$. $b² = 25y² = (5y)²$, значит $b = 5y$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot (6x) \cdot (5y) = 60xy$. Средний член совпадает. Таким образом, трёхчлен является полным квадратом суммы. $36x² + 60xy + 25y² = (6x + 5y)²$.
Ответ: $(6x + 5y)²$

5) Рассмотрим трёхчлен $-4a⁶ - 225a²b⁴ + 60a⁴b²$. Вынесем знак минус за скобки и упорядочим члены по убыванию степени переменной $a$: $-(4a⁶ - 60a⁴b² + 225a²b⁴)$. Выражение в скобках $4a⁶ - 60a⁴b² + 225a²b⁴$ похоже на квадрат разности $(A-B)² = A² - 2AB + B²$. Определим $A$ и $B$. $A² = 4a⁶ = (2a³)²$, значит $A = 2a³$. $B² = 225a²b⁴ = (15ab²)²$, значит $B = 15ab²$. Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (2a³) \cdot (15ab²) = -60a⁴b²$. Средний член совпадает. Таким образом, выражение в скобках является полным квадратом разности: $(2a³ - 15ab²)²$. Следовательно, исходное выражение равно $-(2a³ - 15ab²)²$.
Ответ: $-(2a³ - 15ab²)²$