Страница 97 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

12. Разложите на множители:

1) $x^2 + 6x + 2xy + y^2 + 6y + 9;$

2) $a^2 - 10a + b^2 + 10b - 2ab + 25.$

Решение.

1) $x^2 + 6x + 2xy + y^2 + 6y + 9 = (x^2 + 2xy + y^2) + (6x + 6y) + 9 =$

$= (x + y)^2 + 6(x + y) + 9 =$

2) $a^2 - 10a + b^2 + 10b - 2ab + 25 =$

1) Чтобы разложить на множители выражение $x^2 + 6x + 2xy + y^2 + 6y + 9$, сгруппируем его члены. Выделим в выражении части, которые похожи на формулы сокращенного умножения.

$x^2 + 6x + 2xy + y^2 + 6y + 9 = (x^2 + 2xy + y^2) + (6x + 6y) + 9$

Первая группа, $(x^2 + 2xy + y^2)$, является полным квадратом суммы и равна $(x+y)^2$.

Во второй группе, $(6x + 6y)$, можно вынести за скобки общий множитель 6, получив $6(x+y)$.

Подставим эти результаты обратно в выражение:

$(x+y)^2 + 6(x+y) + 9$

Это выражение также является полным квадратом. Если принять $(x+y)$ за новую переменную, например $z$, то выражение примет вид $z^2 + 6z + 9$. Это квадрат суммы $z$ и 3: $z^2 + 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2 = (z+3)^2$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x+y$ вместо $z$:

$((x+y) + 3)^2 = (x+y+3)^2$

Ответ: $(x+y+3)^2$

2) Для разложения на множители выражения $a^2 - 10a + b^2 + 10b - 2ab + 25$ также применим метод группировки.

Сгруппируем члены следующим образом:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (-10a + 10b) + 25$

Первая группа, $(a^2 - 2ab + b^2)$, является полным квадратом разности и равна $(a-b)^2$.

Во второй группе, $(-10a + 10b)$, вынесем за скобки общий множитель -10, получив $-10(a-b)$.

Подставим преобразованные группы в выражение:

$(a-b)^2 - 10(a-b) + 25$

Это выражение является полным квадратом разности. Если принять $(a-b)$ за новую переменную, например $w$, то выражение примет вид $w^2 - 10w + 25$. Это квадрат разности $w$ и 5: $w^2 - 2 \cdot w \cdot 5 + 5^2 = (w-5)^2$.

Выполним обратную замену, подставив $a-b$ вместо $w$:

$((a-b) - 5)^2 = (a-b-5)^2$

Ответ: $(a-b-5)^2$

13. Найдите значение выражения:

1) $25a^2 - 10ab + b^2 - 10a + 2b$, если $a - 0,2b = 3;$

Решение.

Преобразуем данное выражение:

$25a^2 - 10ab + b^2 - 10a + 2b =$

Ответ:

2) $a^2 + b^2$, если $a - b = 5, ab = 4;$

Решение.

$a^2 + b^2 = (a - b)^2 +$

Ответ:

3) $a^4 + a^2b^2 + b^4$, если $a^2 + b^2 = 6, ab = 2.$

Решение.

$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 -$

Ответ:

1) $25a^2 - 10ab + b^2 - 10a + 2b$, если $a - 0,2b = 3$

Сгруппируем слагаемые в выражении, чтобы выделить полный квадрат и общий множитель:
$25a^2 - 10ab + b^2 - 10a + 2b = (25a^2 - 10ab + b^2) - (10a - 2b)$.
Первая группа является полным квадратом разности $(5a - b)^2$, так как $25a^2 = (5a)^2$ и $10ab = 2 \cdot 5a \cdot b$.
Из второй группы вынесем общий множитель $2$: $10a - 2b = 2(5a - b)$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$(5a - b)^2 - 2(5a - b)$.
Теперь преобразуем данное по условию равенство $a - 0,2b = 3$. Умножим обе его части на $5$:
$5 \cdot (a - 0,2b) = 5 \cdot 3$
$5a - b = 15$.
Подставим значение $5a - b = 15$ в преобразованное выражение:
$15^2 - 2 \cdot 15 = 225 - 30 = 195$.
Ответ: 195.

2) $a^2 + b^2$, если $a - b = 5, ab = 4$

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Из этой формулы выразим искомое $a^2 + b^2$:
$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$.
Теперь подставим известные значения $a - b = 5$ и $ab = 4$:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 2 \cdot 4 = 25 + 8 = 33$.
Ответ: 33.

3) $a^4 + a^2b^2 + b^4$, если $a^2 + b^2 = 6, ab = 2$

Чтобы преобразовать данное выражение, дополним его до полного квадрата суммы. Для этого прибавим и вычтем $a^2b^2$:
$a^4 + a^2b^2 + b^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2$.
Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат суммы $(a^2 + b^2)^2$. Выражение принимает вид:
$(a^2 + b^2)^2 - a^2b^2$.
Мы можем записать $a^2b^2$ как $(ab)^2$:
$(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$.
Подставим известные из условия значения $a^2 + b^2 = 6$ и $ab = 2$:
$6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$.
Ответ: 32.