Страница 95 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

8. Выделите из трёхчлена квадрат двучлена:

1) $x^2 - 16x + 70 = x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x + 64 + 6 = (x + 8)^2 + 6$

2) $x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + 1 - = $

3) $4a^2 - 4a + 4 = $

4) $b^2 - 10b = $

5) $9c^2 - 24c + 5 = $

6) $36m^2 + 84m - 15 = $

1)

Рассмотрим трёхчлен $x^2 - 16x + 70$. В приведённом в задании примере допущена ошибка в знаке. Приведём верное решение.

Для выделения квадрата двучлена воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В нашем выражении $A^2 = x^2$, значит $A=x$. Средний член $-16x$ должен быть равен $-2AB$.

Подставим $A=x$: $-16x = -2 \cdot x \cdot B$. Отсюда находим $B$: $B = \frac{16x}{2x} = 8$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 8^2 = 64$.

Представим число 70 в виде суммы $64+6$.

$x^2 - 16x + 70 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 64 + 6 = (x^2 - 16x + 64) + 6$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-8)^2$.

Таким образом, $x^2 - 16x + 70 = (x-8)^2 + 6$.

Ответ: $(x-8)^2 + 6$.

2)

Рассмотрим трёхчлен $x^2 + 2x - 3$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = x^2$, следовательно $A=x$. Средний член $2x$ равен $2AB$.

$2x = 2 \cdot x \cdot B$, откуда $B=1$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 1^2 = 1$.

Чтобы не изменить выражение, добавим и вычтем 1:

$x^2 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3$.

Выражение в скобках — это $(x+1)^2$.

Следовательно, $x^2 + 2x - 3 = (x+1)^2 - 4$.

Ответ: $(x+1)^2 - 4$.

3)

Рассмотрим трёхчлен $4a^2 - 4a + 4$.

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Первый член $4a^2 = (2a)^2$, значит $A=2a$. Средний член $-4a$ должен быть равен $-2AB$.

$-4a = -2 \cdot (2a) \cdot B$, откуда $B=1$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 1^2 = 1$.

Представим свободный член 4 как $1+3$.

$4a^2 - 4a + 4 = (4a^2 - 4a + 1) + 3$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(2a-1)^2$.

Таким образом, $4a^2 - 4a + 4 = (2a-1)^2 + 3$.

Ответ: $(2a-1)^2 + 3$.

4)

Рассмотрим двучлен $b^2 - 10b$.

Для выделения квадрата двучлена воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = b^2$, значит $A=b$. Средний член $-10b$ должен быть равен $-2AB$.

$-10b = -2 \cdot b \cdot B$, откуда $B=5$.

Для полного квадрата нам нужно добавить член $B^2 = 5^2 = 25$.

Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и одновременно вычтем 25.

$b^2 - 10b = (b^2 - 2 \cdot b \cdot 5 + 25) - 25$.

Выражение в скобках — это $(b-5)^2$.

Следовательно, $b^2 - 10b = (b-5)^2 - 25$.

Ответ: $(b-5)^2 - 25$.

5)

Рассмотрим трёхчлен $9c^2 - 24c + 5$.

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Первый член $9c^2 = (3c)^2$, значит $A=3c$. Средний член $-24c$ должен быть равен $-2AB$.

$-24c = -2 \cdot (3c) \cdot B = -6c \cdot B$, откуда $B = \frac{24c}{6c} = 4$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 4^2 = 16$.

Добавим и вычтем 16, а затем сгруппируем члены:

$9c^2 - 24c + 5 = (9c^2 - 24c + 16) - 16 + 5$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(3c-4)^2$.

Таким образом, $9c^2 - 24c + 5 = (3c-4)^2 - 11$.

Ответ: $(3c-4)^2 - 11$.

6)

Рассмотрим трёхчлен $36m^2 + 84m - 15$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Первый член $36m^2 = (6m)^2$, значит $A=6m$. Средний член $84m$ должен быть равен $2AB$.

$84m = 2 \cdot (6m) \cdot B = 12m \cdot B$, откуда $B = \frac{84m}{12m} = 7$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 7^2 = 49$.

Добавим и вычтем 49, чтобы не изменить выражение:

$36m^2 + 84m - 15 = (36m^2 + 84m + 49) - 49 - 15$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(6m+7)^2$.

Следовательно, $36m^2 + 84m - 15 = (6m+7)^2 - 64$.

Ответ: $(6m+7)^2 - 64$.

9. Заполните пропуск так, чтобы образовалось тождество:

1) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - $_________

2) $a^2 + ab + b^2 = (a - b)^2 + $_________

3) $a^2 - 12a = (a - 6)^2 $_________

4) $9a^2 - 17a + 6 = (3a - 4)^2 $_________

1) Чтобы найти недостающее выражение в тождестве $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - \_\_\_$, необходимо раскрыть скобки в правой части, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Применим эту формулу к выражению $(a + b)^2$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь подставим результат в исходное равенство:

$a^2 + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - \_\_\_$

Чтобы левая часть была равна правой, из выражения $(a^2 + 2ab + b^2)$ нужно вычесть $2ab$, чтобы получить $a^2 + b^2$.

Проверка: $(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = a^2 + b^2$.

Следовательно, в пропуск нужно вписать $2ab$.

Ответ: $2ab$.

2) Рассмотрим тождество $a^2 + ab + b^2 = (a - b)^2 + \_\_\_$. Раскроем скобки в правой части по формуле квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Применив формулу, получим:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим это в исходное тождество:

$a^2 + ab + b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + \_\_\_$

Чтобы найти, что должно стоять в пропуске, выразим его, перенеся известную часть из правой стороны в левую. Обозначим пропуск как $X$:

$X = (a^2 + ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

$X = a^2 + ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

$X = (a^2 - a^2) + (ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 3ab$

Таким образом, в пропуск нужно вписать $3ab$.

Ответ: $3ab$.

3) В тождестве $a^2 - 12a = (a - 6)^2 \_\_\_$ найдем недостающий член. Сначала раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности.

$(a - 6)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = a^2 - 12a + 36$

Теперь исходное равенство выглядит так:

$a^2 - 12a = (a^2 - 12a + 36) \_\_\_$

Мы видим, что правая часть $(a^2 - 12a + 36)$ отличается от левой $(a^2 - 12a)$ на $+36$. Чтобы уравнять обе части, необходимо из правой части вычесть $36$.

Проверка: $(a - 6)^2 - 36 = (a^2 - 12a + 36) - 36 = a^2 - 12a$.

Значит, в пропуск необходимо вписать $-36$.

Ответ: $-36$.

4) Рассмотрим тождество $9a^2 - 17a + 6 = (3a - 4)^2 \_\_\_$. Как и в предыдущих случаях, раскроем скобки в правой части по формуле квадрата разности.

$(3a - 4)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 4 + 4^2 = 9a^2 - 24a + 16$

Подставим это выражение в исходное тождество:

$9a^2 - 17a + 6 = (9a^2 - 24a + 16) \_\_\_$

Чтобы найти недостающее выражение (обозначим его $X$), вычтем из левой части правую (в скобках):

$X = (9a^2 - 17a + 6) - (9a^2 - 24a + 16)$

$X = 9a^2 - 17a + 6 - 9a^2 + 24a - 16$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$X = (9a^2 - 9a^2) + (-17a + 24a) + (6 - 16) = 7a - 10$

Следовательно, к правой части нужно прибавить $7a - 10$.

Ответ: $+ 7a - 10$.

10. Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях $x$; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $x$:

1) $x^2 - 24x + 150;$

2) $49x^2 + 28x + 13;$

3) $x^2 - x + 2.$

Решение.

1) Выделим квадрат двучлена из данного трёхчлена:

$x^2 - 24x + 150=$

Для решения задачи для каждого выражения выделим полный квадрат. Это позволит нам найти наименьшее значение выражения и доказать, что оно всегда положительно.

1) $x^2 - 24x + 150$

Выделим квадрат двучлена, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$ (т.е. $a=x$), а $-24x$ соответствует $-2ab$. Отсюда $-2 \cdot x \cdot b = -24x$, что дает $b=12$. Тогда $b^2 = 12^2 = 144$.

Преобразуем выражение:

$x^2 - 24x + 150 = (x^2 - 24x + 144) - 144 + 150 = (x - 12)^2 + 6$.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(x - 12)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно $0$ и достигается при $x=12$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(x - 12)^2 + 6$ равно $0 + 6 = 6$.

Так как наименьшее значение выражения равно $6$, а $6 > 0$, то выражение принимает положительные значения при всех значениях $x$.

Ответ: наименьшее значение выражения равно $6$ при $x=12$. Поскольку наименьшее значение положительно, все значения выражения также положительны.

2) $49x^2 + 28x + 13$

Выделим полный квадрат, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим $49x^2$ как $(7x)^2$, тогда $a=7x$. Член $28x$ соответствует $2ab$. Отсюда $2 \cdot (7x) \cdot b = 28x$, что дает $b=2$. Тогда $b^2 = 2^2 = 4$.

Преобразуем выражение:

$49x^2 + 28x + 13 = ((7x)^2 + 28x + 4) - 4 + 13 = (7x + 2)^2 + 9$.

Выражение $(7x + 2)^2 \ge 0$ для любого значения $x$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается, когда $7x + 2 = 0$, то есть при $x = -2/7$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(7x + 2)^2 + 9$ равно $0 + 9 = 9$.

Так как $9 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения.

Ответ: наименьшее значение выражения равно $9$ при $x = -2/7$. Поскольку наименьшее значение положительно, все значения выражения также положительны.

3) $x^2 - x + 2$

Выделим полный квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$. Член $-x$ соответствует $-2ab$. Отсюда $-2 \cdot x \cdot b = -x$, что дает $b = 1/2$. Тогда $b^2 = (1/2)^2 = 1/4$.

Преобразуем выражение:

$x^2 - x + 2 = (x^2 - x + 1/4) - 1/4 + 2 = (x - 1/2)^2 + 7/4$.

Выражение $(x - 1/2)^2 \ge 0$ для любого значения $x$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается, когда $x - 1/2 = 0$, то есть при $x = 1/2$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(x - 1/2)^2 + 7/4$ равно $0 + 7/4 = 7/4$.

Так как $7/4 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения.

Ответ: наименьшее значение выражения равно $7/4$ (или $1.75$) при $x = 1/2$. Поскольку наименьшее значение положительно, все значения выражения также положительны.