Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

15. Докажите, что не существует таких значений $x$ и $y$, при которых выполнялось бы равенство $x^4 + y^4 - 4x^2 - 2y^2 + 7 = 0$.

Решение.

Преобразуем данное выражение: $x^4 + y^4 - 4x^2 - 2y^2 + 7 =$

Для доказательства преобразуем левую часть равенства $x^4 + y^4 - 4x^2 - 2y^2 + 7 = 0$ методом выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$:
$(x^4 - 4x^2) + (y^4 - 2y^2) + 7 = 0$

Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Для выражения $x^4 - 4x^2$ имеем $(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат $(x^2 - 2)^2$, нужно добавить и отнять $2^2=4$.
Для выражения $y^4 - 2y^2$ имеем $(y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат $(y^2 - 1)^2$, нужно добавить и отнять $1^2=1$.

Подставим преобразования в исходное уравнение:
$(x^4 - 4x^2 + 4) - 4 + (y^4 - 2y^2 + 1) - 1 + 7 = 0$

Теперь свернем полные квадраты и приведем подобные слагаемые (константы):
$(x^2 - 2)^2 + (y^2 - 1)^2 - 5 + 7 = 0$
$(x^2 - 2)^2 + (y^2 - 1)^2 + 2 = 0$

Перенесем константу в правую часть уравнения:
$(x^2 - 2)^2 + (y^2 - 1)^2 = -2$

Проанализируем полученное равенство. Левая его часть представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Поэтому для любых действительных $x$ и $y$:
$(x^2 - 2)^2 \ge 0$
$(y^2 - 1)^2 \ge 0$

Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна: $(x^2 - 2)^2 + (y^2 - 1)^2 \ge 0$.

Правая часть уравнения равна -2, то есть является отрицательным числом. Таким образом, мы приходим к противоречию: неотрицательная величина (левая часть) не может быть равна отрицательному числу (правая часть).

Это означает, что исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: Доказано, что не существует таких значений $x$ и $y$, при которых выполнялось бы равенство $x^4 + y^4 - 4x^2 - 2y^2 + 7 = 0$.

16. Отрицательные значения переменных $a$ и $b$ таковы, что $a^2 + b^2 = 100$, $ab = 48$. Найдите значение выражения $a + b$.

Дано, что переменные $a$ и $b$ отрицательны, и известны следующие соотношения:

1. $a^2 + b^2 = 100$

2. $ab = 48$

Требуется найти значение выражения $a + b$.

Для нахождения суммы $a + b$ воспользуемся формулой квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы использовать данные из условия задачи:

$(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2(ab)$

Подставим известные значения $a^2 + b^2 = 100$ и $ab = 48$ в это выражение:

$(a + b)^2 = 100 + 2 \cdot 48$

$(a + b)^2 = 100 + 96$

$(a + b)^2 = 196$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти возможные значения для $a+b$:

$a + b = \sqrt{196}$ или $a + b = -\sqrt{196}$

$a + b = 14$ или $a + b = -14$

Согласно условию, переменные $a$ и $b$ являются отрицательными ($a < 0$ и $b < 0$). Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, значение выражения $a + b$ должно быть меньше нуля:

$a + b < 0$

Из двух полученных вариантов ($14$ и $-14$) только $-14$ является отрицательным числом, что соответствует условию задачи.

Ответ: -14

17. Докажите, что при любом целом $n$ значение выражения $(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1$ является квадратом целого числа.

Решение.

Преобразуем данное выражение, найдя произведения многочленов

$n - 2$ и $n + 1$ и многочленов $n - 1$ и $n$:

$(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1 = ((n - 2)(n + 1)) \cdot (n(n - 1)) + 1 =$

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения $(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1$ является квадратом целого числа при любом целом $n$, преобразуем его.

Сгруппируем множители, перемножив крайние и средние скобки:

$(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1 = ((n - 2)(n + 1)) \cdot ((n - 1)n) + 1$

Раскроем скобки в каждой из групп:

Первая группа: $(n - 2)(n + 1) = n^2 + n - 2n - 2 = n^2 - n - 2$

Вторая группа: $(n - 1)n = n^2 - n$

Подставим полученные многочлены обратно в выражение:

$(n^2 - n - 2)(n^2 - n) + 1$

Для упрощения дальнейших вычислений введем замену. Пусть $t = n^2 - n$. Тогда выражение примет вид:

$(t - 2)t + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 - 2t + 1$

Полученное выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его значение $n^2 - n$:

$(n^2 - n - 1)^2$

Мы доказали, что $(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1 = (n^2 - n - 1)^2$.

Поскольку $n$ по условию является целым числом, то $n^2$ также целое число. Результат вычитания и сложения целых чисел ($n^2 - n - 1$) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $(n^2 - n - 1)^2$ является квадратом целого числа при любом целом $n$.

Ответ: Исходное выражение тождественно равно $(n^2 - n - 1)^2$. Так как $n$ — целое число, то $n^2 - n - 1$ также является целым числом, а значит, выражение $(n^2 - n - 1)^2$ является квадратом целого числа, что и требовалось доказать.