Страница 106 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

6. Решите уравнение:

1) $5x^3 - 20x = 0;$

Решение.

Имеем:

$5x($ $) = 0;$

Ответ:

4) $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0;$

Решение.

Разложим левую часть

уравнения на множители:

$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0;$

Ответ:

2) $49x^4 - 9x^2 = 0.$

Решение.

Ответ:

5) $x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0.$

Решение.

Ответ:

3) $64x^3 - 80x^2 + 25x = 0.$

6) $x^5 - x^4 - 81x + 81 = 0.$

1) 5x³ - 20x = 0;

Решение.

Это неполное кубическое уравнение. Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:

$5x(x^2 - 4) = 0$;

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$5x(x-2)(x+2) = 0$;

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$5x = 0$ или $x-2 = 0$ или $x+2 = 0$;

Решая каждое из этих простых уравнений, находим корни:

$x_1 = 0$;

$x_2 = 2$;

$x_3 = -2$;

Ответ: $-2; 0; 2$.

2) 49x⁴ - 9x² = 0;

Решение.

Это биквадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(49x^2 - 9) = 0$;

Выражение в скобках — это разность квадратов: $(7x)^2 - 3^2$. Разложим его на множители:

$x^2(7x - 3)(7x + 3) = 0$;

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x^2 = 0$ или $7x - 3 = 0$ или $7x + 3 = 0$;

Находим корни:

$x_1 = 0$;

$7x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{7}$;

$7x = -3 \implies x_3 = -\frac{3}{7}$;

Ответ: $-\frac{3}{7}; 0; \frac{3}{7}$.

3) 64x³ - 80x² + 25x = 0;

Решение.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(64x^2 - 80x + 25) = 0$;

Выражение в скобках является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$, где $a = 8x$ и $b = 5$. Проверим: $a^2 = (8x)^2 = 64x^2$, $b^2 = 5^2 = 25$, $2ab = 2 \cdot 8x \cdot 5 = 80x$. Значит:

$x(8x - 5)^2 = 0$;

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $(8x - 5)^2 = 0$;

Находим корни:

$x_1 = 0$;

$8x - 5 = 0 \implies 8x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{8}$;

Ответ: $0; \frac{5}{8}$.

4) x³ - 2x² - 9x + 18 = 0;

Решение.

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = 0$;

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$;

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 - 9) = 0$;

Второй множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов, разложим его:

$(x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$;

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0$ или $x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$;

Находим корни:

$x_1 = 2$;

$x_2 = 3$;

$x_3 = -3$;

Ответ: $-3; 2; 3$.

5) x³ - 3x² + 4x - 12 = 0;

Решение.

Используем метод группировки для разложения на множители:

$(x^3 - 3x^2) + (4x - 12) = 0$;

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) + 4(x - 3) = 0$;

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 + 4) = 0$;

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 3 = 0$ или $x^2 + 4 = 0$;

Из первого уравнения получаем корень: $x_1 = 3$.

Второе уравнение $x^2 + 4 = 0$ можно записать как $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: $3$.

6) x⁵ - x⁴ - 81x + 81 = 0;

Решение.

Применим метод группировки:

$(x^5 - x^4) - (81x - 81) = 0$;

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x - 1) - 81(x - 1) = 0$;

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^4 - 81) = 0$;

Второй множитель $x^4 - 81$ является разностью квадратов: $(x^2)^2 - 9^2$. Разложим его:

$(x - 1)(x^2 - 9)(x^2 + 9) = 0$;

Множитель $(x^2 - 9)$ также является разностью квадратов. Разложим и его:

$(x - 1)(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) = 0$;

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 1 = 0$ или $x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$ или $x^2 + 9 = 0$;

Находим действительные корни:

$x_1 = 1$;

$x_2 = 3$;

$x_3 = -3$;

Уравнение $x^2 + 9 = 0$ (или $x^2 = -9$) не имеет действительных корней.

Ответ: $-3; 1; 3$.