Страница 105 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1) $m^2 - 4n^2 - m - 2n = (m^2 - 4n^2) - (m + 2n) = $

2) $8a^2 - 8b^2 + 3a - 3b = $

3) $x^3 + x^2y - 4x^2 + 4y^2 = $

4) $a^2 - 14a + 49 - ac + 7c = (a^2 - 14a + 49) - (ac - 7c) = (a - 7)^2 - c(a - 7) = $

5) $10xy + 10xz - y^2 - 2yz - z^2 = $

6) $3m^2 + 3n^2 - n^3 + 3mn + m^3 = (3m^2 + 3mn + 3n^2) + (m^3 - n^3) = 3(\underline{\hspace{4em}}) + (m - n)(\underline{\hspace{4em}}) = $

7) $5p^2 + p^3 + 5pk - k^3 + 5k^2 = $

8) $a^3 - 216b^3 - a^2 + 12ab - 36b^2 = $

1) $m^2 - 4n^2 - m - 2n$

Сгруппируем слагаемые, как предложено в условии. Первые два слагаемых представляют собой разность квадратов, а из последних двух вынесем знак минус за скобку:

$(m^2 - 4n^2) - (m + 2n)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к первой скобке, где $a=m$ и $b=2n$:

$(m - 2n)(m + 2n) - (m + 2n)$

Теперь вынесем общий множитель $(m + 2n)$ за скобку:

$(m + 2n)((m - 2n) - 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m + 2n)(m - 2n - 1)$

Ответ: $(m + 2n)(m - 2n - 1)$

2) $8a^2 - 8b^2 + 3a - 3b$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$(8a^2 - 8b^2) + (3a - 3b)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $8$ из первой и $3$ из второй.

$8(a^2 - b^2) + 3(a - b)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$8(a - b)(a + b) + 3(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобку:

$(a - b)(8(a + b) + 3)$

Раскроем скобки во втором множителе:

$(a - b)(8a + 8b + 3)$

Ответ: $(a - b)(8a + 8b + 3)$

3) $x^3 + x^2y - 4x^2 + 4y^2$

Для разложения этого многочлена на множители используем метод добавления и вычитания слагаемого. Добавим и вычтем $4xy$:

$x^3 + x^2y - 4x^2 + 4y^2 = x^3 - 4x^2 + 4xy + x^2y - 4xy + 4y^2$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 4x^2 + 4xy) + (x^2y - 4xy + 4y^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $x$ из первой и $y$ из второй.

$x(x^2 - 4x + 4y) + y(x^2 - 4x + 4y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x^2 - 4x + 4y)$ за скобку:

$(x + y)(x^2 - 4x + 4y)$

Ответ: $(x + y)(x^2 - 4x + 4y)$

4) $a^2 - 14a + 49 - ac + 7c$

Сгруппируем слагаемые, как предложено в условии:

$(a^2 - 14a + 49) - (ac - 7c)$

Первая скобка представляет собой полный квадрат разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = (a - 7)^2$

Из второй скобки вынесем общий множитель $c$:

$c(a - 7)$

Подставим полученные выражения обратно:

$(a - 7)^2 - c(a - 7)$

Вынесем общий множитель $(a - 7)$ за скобку:

$(a - 7)((a - 7) - c)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a - 7)(a - c - 7)$

Ответ: $(a - 7)(a - c - 7)$

5) $10xy + 10xz - y^2 - 2yz - z^2$

Сгруппируем слагаемые. Объединим последние три слагаемых и вынесем за скобку минус:

$(10xy + 10xz) - (y^2 + 2yz + z^2)$

Из первой группы вынесем общий множитель $10x$. Выражение во второй скобке является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$10x(y + z) - (y + z)^2$

Теперь вынесем общий множитель $(y + z)$ за скобку:

$(y + z)(10x - (y + z))$

Раскроем внутренние скобки:

$(y + z)(10x - y - z)$

Ответ: $(y + z)(10x - y - z)$

6) $3m^2 + 3n^2 - n^3 + 3mn + m^3$

Перегруппируем слагаемые, как предложено в условии:

$(3m^2 + 3mn + 3n^2) + (m^3 - n^3)$

В первой группе вынесем общий множитель $3$. Вторую группу разложим по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$3(m^2 + mn + n^2) + (m - n)(m^2 + mn + n^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(m^2 + mn + n^2)$ за скобку:

$(m^2 + mn + n^2)(3 + (m - n))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m^2 + mn + n^2)(m - n + 3)$

Ответ: $(m - n + 3)(m^2 + mn + n^2)$

7) $5p^2 + p^3 + 5pk - k^3 + 5k^2$

Перегруппируем слагаемые, объединив кубы и слагаемые с коэффициентом 5:

$(p^3 - k^3) + (5p^2 + 5pk + 5k^2)$

Разложим разность кубов и вынесем общий множитель 5 из второй группы:

$(p - k)(p^2 + pk + k^2) + 5(p^2 + pk + k^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(p^2 + pk + k^2)$ за скобку:

$(p^2 + pk + k^2)((p - k) + 5)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(p^2 + pk + k^2)(p - k + 5)$

Ответ: $(p - k + 5)(p^2 + pk + k^2)$

8) $a^3 - 216b^3 - a^2 + 12ab - 36b^2$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние три.

$(a^3 - 216b^3) - (a^2 - 12ab + 36b^2)$

Первая скобка — это разность кубов $a^3 - (6b)^3$. Вторая скобка — это полный квадрат разности $a^2 - 2 \cdot a \cdot (6b) + (6b)^2 = (a-6b)^2$.

Разложим разность кубов: $a^3 - (6b)^3 = (a - 6b)(a^2 + 6ab + 36b^2)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$(a - 6b)(a^2 + 6ab + 36b^2) - (a - 6b)^2$

Вынесем общий множитель $(a - 6b)$ за скобку:

$(a - 6b)((a^2 + 6ab + 36b^2) - (a - 6b))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(a - 6b)(a^2 + 6ab + 36b^2 - a + 6b)$

Ответ: $(a - 6b)(a^2 - a + 6ab + 6b + 36b^2)$

5. Разложите на множители выражение:

1) $a(a - 4) - (b + 2)(b - 2);$

2) $a(a + 2) + b(b + 2) - 2(a + 1)(b + 1) + 1.$

Решение.

1) Раскроем скобки в данном выражении, а затем сгруппируем члены полученного многочлена:

$a(a - 4) - (b + 2)(b - 2) =$

1) $a(a-4) - (b+2)(b-2)$

Для разложения данного выражения на множители, сначала раскроем скобки. Выражение $(b+2)(b-2)$ является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$(b+2)(b-2) = b^2 - 2^2 = b^2 - 4$.

Подставим это в исходное выражение:

$a(a-4) - (b^2 - 4) = a^2 - 4a - b^2 + 4$.

Теперь сгруппируем члены полученного многочлена. Заметим, что $a^2 - 4a + 4$ представляет собой полный квадрат разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.

Таким образом, наше выражение можно переписать как:

$(a^2 - 4a + 4) - b^2 = (a-2)^2 - b^2$.

Мы получили новую разность квадратов, которую снова разложим на множители:

$(a-2)^2 - b^2 = ((a-2) - b)((a-2) + b) = (a - b - 2)(a + b - 2)$.

Ответ: $(a - b - 2)(a + b - 2)$.

2) $a(a+2) + b(b+2) - 2(a+1)(b+1) + 1$

Для начала раскроем все скобки в данном выражении:

$a(a+2) = a^2 + 2a$

$b(b+2) = b^2 + 2b$

$2(a+1)(b+1) = 2(ab + a + b + 1) = 2ab + 2a + 2b + 2$

Теперь подставим раскрытые части обратно в исходное выражение:

$(a^2 + 2a) + (b^2 + 2b) - (2ab + 2a + 2b + 2) + 1$.

Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2a + b^2 + 2b - 2ab - 2a - 2b - 2 + 1 = a^2 + b^2 - 2ab + (2a - 2a) + (2b - 2b) + (-2 + 1) = a^2 - 2ab + b^2 - 1$.

Сгруппируем первые три члена. Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности: $(a-b)^2$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$(a-b)^2 - 1$.

Это выражение представляет собой разность квадратов, так как $1 = 1^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a-b)^2 - 1^2 = ((a-b) - 1)((a-b) + 1) = (a - b - 1)(a - b + 1)$.

Ответ: $(a - b - 1)(a - b + 1)$.