Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

9. Докажите тождество:

1) $ab(a+b) + bc(b-c) - ac(a+c) = (a+b)(a+c)(b-c);$

2) $(ab+ac+bc)(a+b+c) - abc = (a+b)(b+c)(a+c).$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ). Сначала раскроем все скобки.

ЛЧ = $ab(a + b) + bc(b - c) - ac(a + c) = a^2b + ab^2 + b^2c - bc^2 - a^2c - ac^2$

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы можно было вынести общие множители. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $a$.

ЛЧ = $(a^2b - a^2c) + (ab^2 - ac^2) + (b^2c - bc^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

ЛЧ = $a^2(b - c) + a(b^2 - c^2) + bc(b - c)$

Применим формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$ ко второму слагаемому:

ЛЧ = $a^2(b - c) + a(b - c)(b + c) + bc(b - c)$

Теперь мы видим общий множитель $(b - c)$, который можно вынести за скобки:

ЛЧ = $(b - c)[a^2 + a(b + c) + bc]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок и выполним группировку:

ЛЧ = $(b - c)[a^2 + ab + ac + bc] = (b - c)[(a^2 + ab) + (ac + bc)] = (b - c)[a(a + b) + c(a + b)]$

Вынесем общий множитель $(a + b)$:

ЛЧ = $(b - c)(a + b)(a + c)$

Полученное выражение совпадает с правой частью (ПЧ) исходного тождества, ПЧ = $(a + b)(a + c)(b - c)$. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства этого тождества мы преобразуем левую (ЛЧ) и правую (ПЧ) части по отдельности и покажем, что они приводятся к одному и тому же выражению.

Преобразуем левую часть. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

ЛЧ = $(ab + ac + bc)(a + b + c) - abc$

ЛЧ = $a(ab + ac + bc) + b(ab + ac + bc) + c(ab + ac + bc) - abc$

ЛЧ = $(a^2b + a^2c + abc) + (ab^2 + abc + b^2c) + (abc + ac^2 + bc^2) - abc$

ЛЧ = $a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc - abc$

ЛЧ = $a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

Теперь преобразуем правую часть. Также последовательно раскроем скобки.

ПЧ = $(a + b)(b + c)(a + c)$

Сначала перемножим первые две скобки:

ПЧ = $(ab + ac + b^2 + bc)(a + c)$

Теперь умножим полученный многочлен на $(a + c)$:

ПЧ = $a(ab + ac + b^2 + bc) + c(ab + ac + b^2 + bc)$

ПЧ = $(a^2b + a^2c + ab^2 + abc) + (abc + ac^2 + b^2c + bc^2)$

Приведем подобные слагаемые:

ПЧ = $a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

Сравнивая результаты преобразований, мы видим, что ЛЧ = ПЧ. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

10. Разложите на множители:

1) $a^4 + 64;$

2) $a^4 + 324.$

Решение.

1) $a^4 + 64 = a^4 + 16a^2 + 64 - 16a^2 = (\quad + \quad)^2 - (\quad)^2 =$

$=$

2) $a^4 + 324 =$

1) a⁴ + 64;
Для разложения данного выражения на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод заключается в добавлении и вычитании такого слагаемого, которое дополнит часть выражения до полного квадрата.
Представим исходное выражение в виде суммы квадратов:
$a^4 + 64 = (a^2)^2 + 8^2$
Чтобы получить полный квадрат суммы, нам не хватает удвоенного произведения оснований этих квадратов, то есть $2 \cdot a^2 \cdot 8 = 16a^2$. Добавим и вычтем этот член:
$a^4 + 64 = a^4 + 16a^2 + 64 - 16a^2$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:
$(a^4 + 16a^2 + 64) - 16a^2 = (a^2 + 8)^2 - 16a^2$
Мы получили разность квадратов, так как $16a^2 = (4a)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a^2 + 8)^2 - (4a)^2 = (a^2 + 8 - 4a)(a^2 + 8 + 4a)$
Для удобства записи переставим слагаемые в скобках в стандартном порядке:
$(a^2 - 4a + 8)(a^2 + 4a + 8)$
Ответ: $(a^2 - 4a + 8)(a^2 + 4a + 8)$

2) a⁴ + 324;
Применим тот же метод, что и в первом пункте. Сначала представим слагаемые в виде квадратов:
$a^4 + 324 = (a^2)^2 + 18^2$
Для получения полного квадрата нам необходимо удвоенное произведение $2 \cdot a^2 \cdot 18 = 36a^2$. Добавим и вычтем это выражение:
$a^4 + 324 = a^4 + 36a^2 + 324 - 36a^2$
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:
$(a^4 + 36a^2 + 324) - 36a^2 = (a^2 + 18)^2 - 36a^2$
Полученное выражение является разностью квадратов, так как $36a^2 = (6a)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a^2 + 18)^2 - (6a)^2 = (a^2 + 18 - 6a)(a^2 + 18 + 6a)$
Запишем многочлены в стандартном виде:
$(a^2 - 6a + 18)(a^2 + 6a + 18)$
Ответ: $(a^2 - 6a + 18)(a^2 + 6a + 18)$