Страница 103 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

10. Докажите, что значение выражения:

1) $127^3 + 73^3$ делится нацело на 200;

2) $13^6 - 1$ делится нацело на 84;

3) $5^6 - 10^3$ делится нацело на 3;

4) $54^3 - 24^3$ делится нацело на 270.

Решение.

1) Имеем: $127^3 + 73^3 = (127 + 73)(127^2 - 127 \cdot 73 + 73^2) =$

2) Имеем: $13^6 - 1 = (13^3 - 1)(13^3 + 1) =$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $127^3 + 73^3$ делится нацело на 200, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим $a = 127$ и $b = 73$:

$127^3 + 73^3 = (127 + 73)(127^2 - 127 \cdot 73 + 73^2)$

Вычислим значение первого множителя в скобках:

$127 + 73 = 200$

Таким образом, выражение принимает вид:

$200 \cdot (127^2 - 127 \cdot 73 + 73^2)$

Поскольку один из множителей равен 200, все произведение делится нацело на 200.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что выражение $13^6 - 1$ делится нацело на 84, представим его как разность квадратов, а затем применим формулы разности и суммы кубов.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$13^6 - 1 = (13^3)^2 - 1^2 = (13^3 - 1)(13^3 + 1)$

Теперь разложим каждый из множителей:

Первый множитель (разность кубов): $13^3 - 1 = (13 - 1)(13^2 + 13 \cdot 1 + 1^2) = 12 \cdot (169 + 13 + 1) = 12 \cdot 183$.

Второй множитель (сумма кубов): $13^3 + 1 = (13 + 1)(13^2 - 13 \cdot 1 + 1^2) = 14 \cdot (169 - 13 + 1) = 14 \cdot 157$.

Перемножим полученные результаты:

$13^6 - 1 = (12 \cdot 183) \cdot (14 \cdot 157) = 12 \cdot 14 \cdot 183 \cdot 157$

Нам нужно доказать делимость на $84$. Разложим 84 на множители: $84 = 12 \cdot 7$.

В нашем выражении уже есть множитель 12. Множитель 14 можно представить как $2 \cdot 7$.

$(12 \cdot 7) \cdot 2 \cdot 183 \cdot 157 = 84 \cdot (2 \cdot 183 \cdot 157)$

Так как выражение содержит множитель 84, оно делится на 84 нацело.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что выражение $5^6 - 10^3$ делится нацело на 3, преобразуем его к разности кубов.

$5^6 - 10^3 = (5^2)^3 - 10^3 = 25^3 - 10^3$

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:

$25^3 - 10^3 = (25 - 10)(25^2 + 25 \cdot 10 + 10^2) = 15 \cdot (625 + 250 + 100)$

Первый множитель равен $15$. Поскольку $15$ делится на 3 ($15 = 5 \cdot 3$), то и все произведение делится на 3.
Ответ: что и требовалось доказать.

4) Чтобы доказать, что выражение $54^3 - 24^3$ делится нацело на 270, применим формулу разности кубов.

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

$54^3 - 24^3 = (54 - 24)(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$

Вычислим первый множитель: $54 - 24 = 30$.

Выражение принимает вид: $30 \cdot (54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$.

Нам нужно доказать делимость на 270. Мы знаем, что $270 = 30 \cdot 9$. У нас уже есть множитель 30. Докажем, что второй множитель $(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$ делится на 9.

Рассмотрим каждое слагаемое во второй скобке:

• $54$ делится на 9 ($54 = 6 \cdot 9$), значит, $54^2$ также делится на 9.
• В произведении $54 \cdot 24$ один из множителей (54) делится на 9, значит, все произведение делится на 9.
• $24$ можно представить как $3 \cdot 8$, тогда $24^2 = (3 \cdot 8)^2 = 9 \cdot 8^2 = 9 \cdot 64$. Это слагаемое также делится на 9.

Поскольку каждое слагаемое в скобке $(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$ делится на 9, то и вся сумма делится на 9.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения $30 \cdot (9 \cdot k)$, где k — некоторое целое число. Это произведение равно $270 \cdot k$, а значит, оно делится нацело на 270.
Ответ: что и требовалось доказать.

11. Известно, что числа a и b таковы, что $a^2 - b^4 = 3$. Найдите значение выражения $a^6 - 9a^2b^4 - b^{12}$.

Решение.

Имеем: $a^6 - 9a^2b^4 - b^{12} = (a^6 - b^{12}) - 9a^2b^4 = $

Решение.

По условию задачи нам дано равенство $a^2 - b^4 = 3$. Необходимо найти значение выражения $a^6 - 9a^2b^4 - b^{12}$.

Для решения этой задачи можно использовать метод подстановки. Выразим $a^2$ из данного равенства:

$a^2 = 3 + b^4$.

Теперь преобразуем искомое выражение, представив степени $a^6$ и $b^{12}$ через $a^2$ и $b^4$:

$a^6 - 9a^2b^4 - b^{12} = (a^2)^3 - 9a^2b^4 - (b^4)^3$.

Подставим выражение для $a^2$ в эту формулу:

$(3 + b^4)^3 - 9(3 + b^4)b^4 - (b^4)^3$.

Чтобы упростить вычисления, введем временную замену. Пусть $x = b^4$. Тогда выражение примет вид:

$(3 + x)^3 - 9(3 + x)x - x^3$.

Теперь раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу куба суммы $(c+d)^3 = c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3$:

$(3 + x)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^2 + x^3 = 27 + 27x + 9x^2 + x^3$.

Раскроем второе слагаемое:

$-9(3 + x)x = -9(3x + x^2) = -27x - 9x^2$.

Теперь подставим полученные раскрытые выражения обратно в общую формулу:

$(27 + 27x + 9x^2 + x^3) + (-27x - 9x^2) - x^3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$27 + (27x - 27x) + (9x^2 - 9x^2) + (x^3 - x^3) = 27 + 0 + 0 + 0 = 27$.

Таким образом, значение выражения не зависит от переменных $a$ и $b$ и равно 27.

Ответ: 27.