Страница 109 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Докажите, что при любом натуральном n является составным числом значение выражения:

1) $n^4 + 4n^2 + 16$;

2) $n^4 + 9n^2 + 81$.

Решение.

1) $n^4 + 4n^2 + 16 = n^4 + 8n^2 + 16 - 4n^2 =$

2) $n^4 + 9n^2 + 81 =$

1) Чтобы доказать, что выражение $n^4 + 4n^2 + 16$ является составным числом при любом натуральном $n$, представим его в виде произведения двух множителей, каждый из которых больше 1.
Используем метод выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата суммы, помня формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Если взять $a=n^2$ и $b=4$, то удвоенное произведение будет $2 \cdot n^2 \cdot 4 = 8n^2$.
Добавим и вычтем $4n^2$, чтобы получить $8n^2$:
$n^4 + 4n^2 + 16 = n^4 + 8n^2 + 16 - 4n^2$
Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат, а всё выражение можно представить как разность квадратов:
$(n^4 + 8n^2 + 16) - 4n^2 = (n^2 + 4)^2 - (2n)^2$
Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$(n^2 + 4 - 2n)(n^2 + 4 + 2n) = (n^2 - 2n + 4)(n^2 + 2n + 4)$
Мы разложили исходное выражение на два множителя. Теперь нужно доказать, что при любом натуральном $n$ (т.е. $n \ge 1$) оба множителя являются целыми числами, большими 1.
Рассмотрим первый множитель: $n^2 - 2n + 4$. Его можно переписать так: $(n^2 - 2n + 1) + 3 = (n-1)^2 + 3$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то $n-1 \ge 0$, и $(n-1)^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение этого множителя достигается при $n=1$ и равно $(1-1)^2 + 3 = 3$. Таким образом, $n^2 - 2n + 4 \ge 3$.
Рассмотрим второй множитель: $n^2 + 2n + 4$.
Поскольку $n \ge 1$, то $n^2 \ge 1$ и $2n \ge 2$. Следовательно, наименьшее значение этого множителя достигается при $n=1$ и равно $1+2+4=7$. Таким образом, $n^2 + 2n + 4 \ge 7$.
Так как выражение $n^4 + 4n^2 + 16$ представляется в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1, оно является составным числом при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что выражение $n^4 + 9n^2 + 81$ является составным числом при любом натуральном $n$, воспользуемся тем же методом.
Выделим полный квадрат. Если взять $a=n^2$ и $b=9$, то удвоенное произведение будет $2 \cdot n^2 \cdot 9 = 18n^2$.
Добавим и вычтем $9n^2$, чтобы получить $18n^2$:
$n^4 + 9n^2 + 81 = n^4 + 18n^2 + 81 - 9n^2$
Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов:
$(n^4 + 18n^2 + 81) - 9n^2 = (n^2 + 9)^2 - (3n)^2$
$(n^2 + 9 - 3n)(n^2 + 9 + 3n) = (n^2 - 3n + 9)(n^2 + 3n + 9)$
Мы разложили исходное выражение на два множителя. Докажем, что при любом натуральном $n$ оба множителя являются целыми числами, большими 1.
Рассмотрим первый множитель: $n^2 - 3n + 9$.
При $n=1$: $1^2 - 3(1) + 9 = 1 - 3 + 9 = 7 > 1$.
При $n=2$: $2^2 - 3(2) + 9 = 4 - 6 + 9 = 7 > 1$.
При $n \ge 3$: $n^2 - 3n = n(n-3) \ge 3(3-3) = 0$. Следовательно, для $n \ge 3$ выражение $n^2 - 3n + 9 \ge 9$.
Значит, при любом натуральном $n$ первый множитель $n^2 - 3n + 9 \ge 7$.
Рассмотрим второй множитель: $n^2 + 3n + 9$.
Поскольку $n \ge 1$, то $n^2 \ge 1$ и $3n \ge 3$. Следовательно, наименьшее значение этого множителя достигается при $n=1$ и равно $1+3+9=13$. Таким образом, $n^2 + 3n + 9 \ge 13$.
Так как выражение $n^4 + 9n^2 + 81$ представляется в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1, оно является составным числом при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

12. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3 + 5n$ кратно 6.

Решение.

Имеем: $n^3 + 5n = (n^3 - n) + 6n = $

Чтобы доказать, что значение выражения $n^3 + 5n$ кратно 6 при любом натуральном $n$, преобразуем его. Для этого прибавим и вычтем $n$, что не изменит значение выражения:

$n^3 + 5n = n^3 - n + n + 5n = (n^3 - n) + 6n$

Теперь рассмотрим получившуюся сумму. Она состоит из двух слагаемых: $(n^3 - n)$ и $6n$. Докажем, что каждое из них делится на 6.

1. Рассмотрим слагаемое $6n$. Оно очевидно делится на 6 без остатка при любом натуральном $n$, так как содержит множитель 6.

2. Рассмотрим слагаемое $(n^3 - n)$. Разложим его на множители. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Переставив множители, получим произведение трех последовательных натуральных чисел: $(n-1)n(n+1)$.

Чтобы доказать, что это произведение делится на 6, нужно показать, что оно делится на 2 и на 3 одновременно (поскольку $6=2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 взаимно простые).

• Делимость на 2: Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является четным. В нашем произведении $(n-1)n(n+1)$ есть три последовательных числа, а значит, как минимум одно из них четное. Следовательно, все произведение делится на 2.
• Делимость на 3: Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 3.

Поскольку выражение $(n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.

Таким образом, мы представили исходное выражение $n^3 + 5n$ в виде суммы $(n^3-n) + 6n$. Оба слагаемых в этой сумме делятся на 6. Сумма двух выражений, каждое из которых кратно 6, также кратна 6.

Следовательно, мы доказали, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3 + 5n$ кратно 6.

Ответ: Утверждение доказано, так как выражение $n^3 + 5n$ можно представить в виде суммы $(n-1)n(n+1) + 6n$, где каждое слагаемое делится на 6 при любом натуральном $n$.