Страница 102 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

9. Решите уравнение:

1) $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) - x(x - 6)(x + 6) = 4x;$

Решение.

Ответ:

2) $2x(2x - 1)^2 - (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 2x - 3.$

1) Исходное уравнение: $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) - x(x - 6)(x + 6) = 4x$.
Упростим левую часть уравнения, используя формулы сокращенного умножения.
Первое слагаемое $(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$ является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=x$ и $b=4$. Таким образом, $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) = x^3 - 4^3 = x^3 - 64$.
Выражение $(x - 6)(x + 6)$ является формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a=x$ и $b=6$. Таким образом, $(x - 6)(x + 6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$.
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$(x^3 - 64) - x(x^2 - 36) = 4x$.
Раскроем скобки:
$x^3 - 64 - x^3 + 36x = 4x$.
Приведем подобные слагаемые. Члены $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются:
$-64 + 36x = 4x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:
$36x - 4x = 64$.
$32x = 64$.
Найдем $x$:
$x = \frac{64}{32}$.
$x = 2$.
Ответ: $2$.

2) Исходное уравнение: $2x(2x - 1)^2 - (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 2x - 3$.
Упростим левую часть уравнения, используя формулы сокращенного умножения.
Для выражения $(2x - 1)^2$ применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
Выражение $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$ является формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a=2x$ и $b=1$. Таким образом, $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$2x(4x^2 - 4x + 1) - (8x^3 + 1) = 2x - 3$.
Раскроем скобки:
$8x^3 - 8x^2 + 2x - 8x^3 - 1 = 2x - 3$.
Приведем подобные слагаемые. Члены $8x^3$ и $-8x^3$ взаимно уничтожаются:
$-8x^2 + 2x - 1 = 2x - 3$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$-8x^2 + 2x - 2x - 1 + 3 = 0$.
Члены $2x$ и $-2x$ также взаимно уничтожаются:
$-8x^2 + 2 = 0$.
Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$8x^2 = 2$.
$x^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$.
$x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.