Страница 96 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях $x$; укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении $x$:

1) $-x^2 + 6x - 12$; 2) $16x - 64x^2 - 2$.

Решение.

1) Имеем: $-x^2 + 6x - 12 = -(x^2 - 6x + 12) = -((x - )^2 + ) = $

1) $-x^2 + 6x - 12$

Для доказательства того, что выражение принимает отрицательные значения при всех значениях $x$, и для нахождения его наибольшего значения, преобразуем его, выделив полный квадрат.

$-x^2 + 6x - 12 = -(x^2 - 6x + 12)$

Чтобы получить полный квадрат в скобках, представим $6x$ как $2 \cdot x \cdot 3$. Тогда для формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ нам не хватает $b^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9 внутри скобок:

$-(x^2 - 6x + 9 - 9 + 12) = -((x^2 - 6x + 9) + 3) = -((x - 3)^2 + 3)$

Раскроем внешние скобки:

$-(x - 3)^2 - 3$

Рассмотрим полученное выражение. Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно при любом значении $x$, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $-(x-3)^2$ всегда неположительно, то есть $-(x-3)^2 \le 0$. Тогда сумма $-(x-3)^2 - 3$ будет всегда меньше или равна $-3$.

$-(x-3)^2 - 3 \le -3$

Так как $-3 < 0$, то и все значения выражения $-x^2 + 6x - 12$ отрицательны при любом $x$, что и требовалось доказать.

Наибольшее значение выражение принимает тогда, когда $-(x-3)^2$ принимает свое наибольшее значение, равное 0. Это происходит при $(x-3)^2 = 0$, то есть при $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

При $x=3$ значение выражения равно: $-(3-3)^2 - 3 = 0 - 3 = -3$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $-3$ и достигается при $x=3$. Поскольку наибольшее значение выражения отрицательно, оно принимает только отрицательные значения при всех $x$.

2) $16x - 64x^2 - 2$

Перепишем выражение в стандартном виде для квадратного трехчлена: $-64x^2 + 16x - 2$. Аналогично первому пункту, выделим полный квадрат.

$-64x^2 + 16x - 2 = -(64x^2 - 16x + 2)$

В скобках имеем $64x^2 = (8x)^2$ и $16x = 2 \cdot (8x) \cdot 1$. Для формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ нам не хватает $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 внутри скобок:

$-( (64x^2 - 16x + 1) - 1 + 2) = -((8x - 1)^2 + 1)$

Раскроем внешние скобки:

$-(8x - 1)^2 - 1$

Рассмотрим полученное выражение. Выражение $(8x-1)^2$ всегда неотрицательно при любом значении $x$, то есть $(8x-1)^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $-(8x-1)^2$ всегда неположительно, то есть $-(8x-1)^2 \le 0$. Тогда сумма $-(8x-1)^2 - 1$ будет всегда меньше или равна $-1$.

$-(8x-1)^2 - 1 \le -1$

Так как $-1 < 0$, то и все значения выражения $16x - 64x^2 - 2$ отрицательны при любом $x$, что и требовалось доказать.

Наибольшее значение выражение принимает тогда, когда $-(8x-1)^2$ принимает свое наибольшее значение, равное 0. Это происходит при $(8x-1)^2 = 0$, то есть при $8x - 1 = 0$, откуда $8x = 1$, $x = \frac{1}{8}$.

При $x=\frac{1}{8}$ значение выражения равно: $-(8 \cdot \frac{1}{8} - 1)^2 - 1 = -(1-1)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $-1$ и достигается при $x=\frac{1}{8}$. Поскольку наибольшее значение выражения отрицательно, оно принимает только отрицательные значения при всех $x$.