Страница 94 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

7. Докажите тождество:

1) $(a - 1)(a - 2)(a + 1)(a + 2) + a^2 = (a^2 - 2)^2$;

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

$(a - 1)(a - 2)(a + 1)(a + 2) + a^2 = $

$=((a - 1)(a + 1)) \cdot ((a - 2)(a + 2)) + a^2 = $

$=$

2) $(a + 7)^2 - 2(a - 9)(a + 7) + (a - 9)^2 = 256$;

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства как квадрат разности выражений $a + 7$ и $a - 9$:

$(a + 7)^2 - 2(a - 9)(a + 7) + (a - 9)^2 = (a + 7 - ( ))^2 = $

3) $(3a - 5)^2 + 2(3a - 5)(5 - 2a) + (2a - 5)^2 = a^2$.

Решение.

$(3a - 5)^2 + 2(3a - 5)(5 - 2a) + (2a - 5)^2 = $

1) $(a - 1)(a - 2)(a + 1)(a + 2) + a^2 = (a^2 - 2)^2$

Преобразуем левую часть данного равенства. Для этого сгруппируем множители так, чтобы можно было применить формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(a - 1)(a - 2)(a + 1)(a + 2) + a^2 = ((a - 1)(a + 1)) \cdot ((a - 2)(a + 2)) + a^2$

Применяем формулу разности квадратов к каждой паре скобок:

$((a^2 - 1^2)) \cdot ((a^2 - 2^2)) + a^2 = (a^2 - 1)(a^2 - 4) + a^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 \cdot a^2 - 4a^2 - 1 \cdot a^2 + (-1)(-4) + a^2 = a^4 - 5a^2 + 4 + a^2 = a^4 - 4a^2 + 4$

Полученное выражение является полным квадратом. Свернем его по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = a^2$ и $y = 2$:

$a^4 - 4a^2 + 4 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 2 + 2^2 = (a^2 - 2)^2$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $(a + 7)^2 - 2(a - 9)(a + 7) + (a - 9)^2 = 256$

Преобразуем левую часть данного равенства. Она представляет собой развернутую формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a + 7$ и $y = a - 9$. Применим формулу, чтобы свернуть выражение:

$(a + 7)^2 - 2(a + 7)(a - 9) + (a - 9)^2 = ((a + 7) - (a - 9))^2$

Упростим выражение в скобках, раскрыв внутренние скобки:

$(a + 7 - a + 9)^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(16)^2 = 256$

Левая часть равна правой части ($256 = 256$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) $(3a - 5)^2 + 2(3a - 5)(5 - 2a) + (2a - 5)^2 = a^2$

Преобразуем левую часть данного равенства. Заметим, что $(2a - 5)^2$ и $(5 - 2a)^2$ равны, так как $(2a - 5) = -(5 - 2a)$, а квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного. Заменим $(2a - 5)^2$ на $(5 - 2a)^2$:

$(3a - 5)^2 + 2(3a - 5)(5 - 2a) + (5 - 2a)^2$

Теперь выражение в левой части представляет собой полный квадрат суммы, который соответствует формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае, $x = 3a - 5$ и $y = 5 - 2a$.

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$((3a - 5) + (5 - 2a))^2$

Упростим выражение в скобках:

$(3a - 5 + 5 - 2a)^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a)^2 = a^2$

Левая часть равна правой части ($a^2 = a^2$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.