Страница 100 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1. Заполните пропуски.

1) Формулой суммы кубов двух выражений называют тождество $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

2) Сумма кубов двух выражений равна произведению $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$

3) Формулой разности кубов двух выражений называют тождество $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

4) Разность кубов двух выражений равна произведению $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$

1) Формулой суммы кубов двух выражений называют тождество
Это одна из формул сокращённого умножения. Она гласит, что сумма кубов двух выражений (пусть это будут a и b) равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Математически это записывается как тождество, которое и является ответом на вопрос.
Ответ: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

2) Сумма кубов двух выражений равна произведению
Согласно формуле суммы кубов, $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, выражение в левой части равно произведению двух множителей в правой части. Первый множитель $(a+b)$ — это "сумма этих выражений". Второй множитель $(a^2-ab+b^2)$ — это "неполный квадрат их разности".
Ответ: суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

3) Формулой разности кубов двух выражений называют тождество
По аналогии с суммой кубов, формула разности кубов также является формулой сокращённого умножения. Она утверждает, что разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Ответ: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

4) Разность кубов двух выражений равна произведению
Формула разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ показывает, что разность кубов равна произведению двух множителей. Первый множитель $(a-b)$ — это "разность этих выражений". Второй множитель $(a^2+ab+b^2)$ — это "неполный квадрат их суммы".
Ответ: разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

2. Подчеркните многочлены, являющиеся неполным квадратом разности или суммы двух выражений:

1) $x^2 - 4x + 4;$

2) $x^2 + 2x + 4;$

3) $25c^2 - 30c + 36;$

4) $a^2 - a + 1;$

5) $100m^2 - 50mn - 25n^2;$

6) $81x^4 - 63x^2y^3 + 49y^6.$

1) $x^2 - 4x + 4$

Чтобы определить, является ли многочлен неполным квадратом, сравним его с формулами неполного квадрата суммы ($a^2 + ab + b^2$) и разности ($a^2 - ab + b^2$).
В данном выражении можно предположить, что $a^2 = x^2$, следовательно $a=x$, и $b^2 = 4$, следовательно $b=2$.
Проверим средний член. Для неполного квадрата разности он должен быть равен $-ab = -x \cdot 2 = -2x$. Для полного квадрата разности он равен $-2ab = -2 \cdot x \cdot 2 = -4x$.
Средний член в многочлене равен $-4x$, что соответствует полному квадрату разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Ответ: Многочлен не является неполным квадратом, так как это полный квадрат разности.

2) $x^2 + 2x + 4$

Проверим данный многочлен. Пусть $a^2 = x^2$, тогда $a=x$. Пусть $b^2 = 4$, тогда $b=2$.
Средний член для неполного квадрата суммы должен быть равен $ab = x \cdot 2 = 2x$.
В данном многочлене средний член равен $2x$, что в точности соответствует произведению $ab$.
Таким образом, выражение $x^2 + 2x + 4$ является неполным квадратом суммы выражений $x$ и $2$.
Ответ: $x^2 + 2x + 4$ является неполным квадратом суммы.

3) $25c^2 - 30c + 36$

Проверим данный многочлен. Пусть $a^2 = 25c^2$, тогда $a=5c$. Пусть $b^2 = 36$, тогда $b=6$.
Средний член для неполного квадрата разности должен быть равен $-ab = -(5c)(6) = -30c$.
В данном многочлене средний член равен $-30c$, что соответствует произведению $-ab$.
Следовательно, выражение $25c^2 - 30c + 36$ является неполным квадратом разности выражений $5c$ и $6$.
Ответ: $25c^2 - 30c + 36$ является неполным квадратом разности.

4) $a^2 - a + 1$

Проверим данный многочлен. Пусть первый член в квадрате равен $a^2$, тогда первое выражение - это $a$. Пусть второй член в квадрате равен $1$, тогда второе выражение - это $1$.
Средний член для неполного квадрата разности должен быть равен произведению этих выражений со знаком минус: $-a \cdot 1 = -a$.
В данном многочлене средний член равен $-a$, что соответствует требуемому.
Таким образом, выражение $a^2 - a + 1$ является неполным квадратом разности выражений $a$ и $1$.
Ответ: $a^2 - a + 1$ является неполным квадратом разности.

5) $100m^2 - 50mn - 25n^2$

В формулах полного и неполного квадрата суммы или разности ($a^2 \pm 2ab + b^2$ и $a^2 \pm ab + b^2$) оба члена, представляющие квадраты выражений ($a^2$ и $b^2$), должны быть положительными.
В данном многочлене член $-25n^2$ отрицателен.
Следовательно, этот многочлен не может быть неполным квадратом.
Ответ: Многочлен не является неполным квадратом.

6) $81x^4 - 63x^2y^3 + 49y^6$

Проверим данный многочлен. Пусть $a^2 = 81x^4 = (9x^2)^2$, тогда $a=9x^2$. Пусть $b^2 = 49y^6 = (7y^3)^2$, тогда $b=7y^3$.
Средний член для неполного квадрата разности должен быть равен $-ab = -(9x^2)(7y^3) = -63x^2y^3$.
В данном многочлене средний член равен $-63x^2y^3$, что совпадает с $-ab$.
Таким образом, выражение $81x^4 - 63x^2y^3 + 49y^6$ является неполным квадратом разности выражений $9x^2$ и $7y^3$.
Ответ: $81x^4 - 63x^2y^3 + 49y^6$ является неполным квадратом разности.

3. Разложите на множители:

1) $0,001m^3 + 8n^3 = (0,1m)^3 + (2n)^3 = $

2) $0,008a^3 - 125b^3 = $

3) $64x^6 - 0,027y^9 = $

4) $b^{12} + 216c^{15} = $

5) $\frac{1}{8}p^{18} - \frac{1}{27}b^{21} = $

1) Для разложения выражения $0,001m^3 + 8n^3$ на множители используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба: $0,001m^3 = (0,1m)^3$ $8n^3 = (2n)^3$
Таким образом, наше выражение принимает вид $(0,1m)^3 + (2n)^3$. Здесь $a = 0,1m$ и $b = 2n$.
Подставляем эти значения в формулу: $(0,1m + 2n)((0,1m)^2 - (0,1m)(2n) + (2n)^2)$
Упрощаем выражение во второй скобке: $(0,1m + 2n)(0,01m^2 - 0,2mn + 4n^2)$
Ответ: $(0,1m + 2n)(0,01m^2 - 0,2mn + 4n^2)$.

2) Для разложения выражения $0,008a^3 - 125b^3$ на множители используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $0,008a^3 = (0,2a)^3$ $125b^3 = (5b)^3$
Выражение принимает вид $(0,2a)^3 - (5b)^3$. Здесь $a = 0,2a$ и $b = 5b$.
Подставляем в формулу: $(0,2a - 5b)((0,2a)^2 + (0,2a)(5b) + (5b)^2)$
Упрощаем вторую скобку: $(0,2a - 5b)(0,04a^2 + ab + 25b^2)$
Ответ: $(0,2a - 5b)(0,04a^2 + ab + 25b^2)$.

3) Для разложения выражения $64x^6 - 0,027y^9$ на множители используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $64x^6 = 4^3 \cdot (x^2)^3 = (4x^2)^3$ $0,027y^9 = (0,3)^3 \cdot (y^3)^3 = (0,3y^3)^3$
Выражение принимает вид $(4x^2)^3 - (0,3y^3)^3$. Здесь $a = 4x^2$ и $b = 0,3y^3$.
Подставляем в формулу: $(4x^2 - 0,3y^3)((4x^2)^2 + (4x^2)(0,3y^3) + (0,3y^3)^2)$
Упрощаем вторую скобку: $(4x^2 - 0,3y^3)(16x^4 + 1,2x^2y^3 + 0,09y^6)$
Ответ: $(4x^2 - 0,3y^3)(16x^4 + 1,2x^2y^3 + 0,09y^6)$.

4) Для разложения выражения $b^{12} + 216c^{15}$ на множители используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $b^{12} = (b^4)^3$ $216c^{15} = 6^3 \cdot (c^5)^3 = (6c^5)^3$
Выражение принимает вид $(b^4)^3 + (6c^5)^3$. Здесь $a = b^4$ и $b = 6c^5$.
Подставляем в формулу: $(b^4 + 6c^5)((b^4)^2 - (b^4)(6c^5) + (6c^5)^2)$
Упрощаем вторую скобку: $(b^4 + 6c^5)(b^8 - 6b^4c^5 + 36c^{10})$
Ответ: $(b^4 + 6c^5)(b^8 - 6b^4c^5 + 36c^{10})$.

5) Для разложения выражения $\frac{1}{8}p^{18} - \frac{1}{27}b^{21}$ на множители используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $\frac{1}{8}p^{18} = (\frac{1}{2})^3 \cdot (p^6)^3 = (\frac{1}{2}p^6)^3$ $\frac{1}{27}b^{21} = (\frac{1}{3})^3 \cdot (b^7)^3 = (\frac{1}{3}b^7)^3$
Выражение принимает вид $(\frac{1}{2}p^6)^3 - (\frac{1}{3}b^7)^3$. Здесь $a = \frac{1}{2}p^6$ и $b = \frac{1}{3}b^7$.
Подставляем в формулу: $(\frac{1}{2}p^6 - \frac{1}{3}b^7)((\frac{1}{2}p^6)^2 + (\frac{1}{2}p^6)(\frac{1}{3}b^7) + (\frac{1}{3}b^7)^2)$
Упрощаем вторую скобку: $(\frac{1}{2}p^6 - \frac{1}{3}b^7)(\frac{1}{4}p^{12} + \frac{1}{6}p^6b^7 + \frac{1}{9}b^{14})$
Ответ: $(\frac{1}{2}p^6 - \frac{1}{3}b^7)(\frac{1}{4}p^{12} + \frac{1}{6}p^6b^7 + \frac{1}{9}b^{14})$.

4. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = $

2) $(3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2) = $

3) $(a + bc)(a^2 - abc + b^2c^2) = $

4) $(4 - a^3)(16 + 4a^3 + a^6) = $

5) $(\frac{1}{7}b^4 + \frac{7}{9}c^2)(\frac{1}{49}b^8 - \frac{1}{9}b^4c^2 + \frac{49}{81}c^4) = $

6) $(\frac{1}{5}x^2 - 6y^5)(\frac{1}{25}x^4 + 1,2x^2y^5 + 36y^{10}) = $

Все представленные выражения можно упростить, используя формулы сокращенного умножения, а именно формулы суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

Данное выражение соответствует формуле суммы кубов, где $a = x$ и $b = 2y$.
Первый множитель — это $(a+b) = (x+2y)$.
Второй множитель — это неполный квадрат разности: $(a^2 - ab + b^2) = (x^2 - x \cdot 2y + (2y)^2) = (x^2 - 2xy + 4y^2)$.
Применяя формулу, получаем:
$x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$.
Ответ: $x^3 + 8y^3$

2) $(3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов, где $a = 3a$ и $b = b$.
Первый множитель — это $(a-b) = (3a-b)$.
Второй множитель — это неполный квадрат суммы: $(a^2 + ab + b^2) = ((3a)^2 + 3a \cdot b + b^2) = (9a^2 + 3ab + b^2)$.
Применяя формулу, получаем:
$(3a)^3 - b^3 = 27a^3 - b^3$.
Ответ: $27a^3 - b^3$

3) $(a + bc)(a^2 - abc + b^2c^2)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов, где первый член — $a$, а второй — $bc$.
$(a + bc)(a^2 - a(bc) + (bc)^2) = a^3 + (bc)^3$.
Упрощаем выражение:
$a^3 + (bc)^3 = a^3 + b^3c^3$.
Ответ: $a^3 + b^3c^3$

4) $(4 - a^3)(16 + 4a^3 + a^6)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов, где первый член — $4$, а второй — $a^3$.
$(4 - a^3)(4^2 + 4 \cdot a^3 + (a^3)^2) = 4^3 - (a^3)^3$.
Упрощаем выражение:
$4^3 - (a^3)^3 = 64 - a^9$.
Ответ: $64 - a^9$

5) $(\frac{1}{7}b^4 + \frac{7}{9}c^2)(\frac{1}{49}b^8 - \frac{1}{9}b^4c^2 + \frac{49}{81}c^4)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов, где $a = \frac{1}{7}b^4$ и $b = \frac{7}{9}c^2$.
Проверим второй множитель:
$a^2 = (\frac{1}{7}b^4)^2 = \frac{1}{49}b^8$
$ab = (\frac{1}{7}b^4)(\frac{7}{9}c^2) = \frac{7}{63}b^4c^2 = \frac{1}{9}b^4c^2$
$b^2 = (\frac{7}{9}c^2)^2 = \frac{49}{81}c^4$
Выражение полностью соответствует формуле $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Применяем формулу:
$(\frac{1}{7}b^4)^3 + (\frac{7}{9}c^2)^3 = \frac{1}{343}b^{12} + \frac{343}{729}c^6$.
Ответ: $\frac{1}{343}b^{12} + \frac{343}{729}c^6$

6) $(\frac{1}{5}x^2 - 6y^5)(\frac{1}{25}x^4 + 1,2x^2y^5 + 36y^{10})$

Это выражение соответствует формуле разности кубов. Преобразуем десятичную дробь $1,2$ в обыкновенную: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Тогда выражение принимает вид: $(\frac{1}{5}x^2 - 6y^5)(\frac{1}{25}x^4 + \frac{6}{5}x^2y^5 + 36y^{10})$.
Здесь $a = \frac{1}{5}x^2$ и $b = 6y^5$.
Проверим второй множитель:
$a^2 = (\frac{1}{5}x^2)^2 = \frac{1}{25}x^4$
$ab = (\frac{1}{5}x^2)(6y^5) = \frac{6}{5}x^2y^5$
$b^2 = (6y^5)^2 = 36y^{10}$
Выражение полностью соответствует формуле $(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Применяем формулу:
$(\frac{1}{5}x^2)^3 - (6y^5)^3 = \frac{1}{125}x^6 - 216y^{15}$.
Ответ: $\frac{1}{125}x^6 - 216y^{15}$