Номер 2, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Сумма и разность двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 2, страница 100.

Условие.

2. Подчеркните многочлены, являющиеся неполным квадратом разности или суммы двух выражений:

1) $x^2 - 4x + 4;$

2) $x^2 + 2x + 4;$

3) $25c^2 - 30c + 36;$

4) $a^2 - a + 1;$

5) $100m^2 - 50mn - 25n^2;$

6) $81x^4 - 63x^2y^3 + 49y^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2 - 4x + 4$

Чтобы определить, является ли многочлен неполным квадратом, сравним его с формулами неполного квадрата суммы ($a^2 + ab + b^2$) и разности ($a^2 - ab + b^2$).
В данном выражении можно предположить, что $a^2 = x^2$, следовательно $a=x$, и $b^2 = 4$, следовательно $b=2$.
Проверим средний член. Для неполного квадрата разности он должен быть равен $-ab = -x \cdot 2 = -2x$. Для полного квадрата разности он равен $-2ab = -2 \cdot x \cdot 2 = -4x$.
Средний член в многочлене равен $-4x$, что соответствует полному квадрату разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Ответ: Многочлен не является неполным квадратом, так как это полный квадрат разности.

2) $x^2 + 2x + 4$

Проверим данный многочлен. Пусть $a^2 = x^2$, тогда $a=x$. Пусть $b^2 = 4$, тогда $b=2$.
Средний член для неполного квадрата суммы должен быть равен $ab = x \cdot 2 = 2x$.
В данном многочлене средний член равен $2x$, что в точности соответствует произведению $ab$.
Таким образом, выражение $x^2 + 2x + 4$ является неполным квадратом суммы выражений $x$ и $2$.
Ответ: $x^2 + 2x + 4$ является неполным квадратом суммы.

3) $25c^2 - 30c + 36$

Проверим данный многочлен. Пусть $a^2 = 25c^2$, тогда $a=5c$. Пусть $b^2 = 36$, тогда $b=6$.
Средний член для неполного квадрата разности должен быть равен $-ab = -(5c)(6) = -30c$.
В данном многочлене средний член равен $-30c$, что соответствует произведению $-ab$.
Следовательно, выражение $25c^2 - 30c + 36$ является неполным квадратом разности выражений $5c$ и $6$.
Ответ: $25c^2 - 30c + 36$ является неполным квадратом разности.

4) $a^2 - a + 1$

Проверим данный многочлен. Пусть первый член в квадрате равен $a^2$, тогда первое выражение - это $a$. Пусть второй член в квадрате равен $1$, тогда второе выражение - это $1$.
Средний член для неполного квадрата разности должен быть равен произведению этих выражений со знаком минус: $-a \cdot 1 = -a$.
В данном многочлене средний член равен $-a$, что соответствует требуемому.
Таким образом, выражение $a^2 - a + 1$ является неполным квадратом разности выражений $a$ и $1$.
Ответ: $a^2 - a + 1$ является неполным квадратом разности.

5) $100m^2 - 50mn - 25n^2$

В формулах полного и неполного квадрата суммы или разности ($a^2 \pm 2ab + b^2$ и $a^2 \pm ab + b^2$) оба члена, представляющие квадраты выражений ($a^2$ и $b^2$), должны быть положительными.
В данном многочлене член $-25n^2$ отрицателен.
Следовательно, этот многочлен не может быть неполным квадратом.
Ответ: Многочлен не является неполным квадратом.

6) $81x^4 - 63x^2y^3 + 49y^6$

Проверим данный многочлен. Пусть $a^2 = 81x^4 = (9x^2)^2$, тогда $a=9x^2$. Пусть $b^2 = 49y^6 = (7y^3)^2$, тогда $b=7y^3$.
Средний член для неполного квадрата разности должен быть равен $-ab = -(9x^2)(7y^3) = -63x^2y^3$.
В данном многочлене средний член равен $-63x^2y^3$, что совпадает с $-ab$.
Таким образом, выражение $81x^4 - 63x^2y^3 + 49y^6$ является неполным квадратом разности выражений $9x^2$ и $7y^3$.
Ответ: $81x^4 - 63x^2y^3 + 49y^6$ является неполным квадратом разности.