Номер 6, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 18. Сумма и разность двух выражений - номер 6, страница 101.

Условие.

6. Разложите на множители:

1) $(a - 1)^3 - 216 = $

2) $(4x + 3)^3 + 27 = $

3) $125m^6 - (3m - 2)^3 = $

4) $(b + 6)^3 - (b - 6)^3 = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(a - 1)^3 - 216$

Данное выражение представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем случае, $x$ в формуле — это выражение $(a - 1)$, а $y$ в формуле — это число, куб которого равен 216.

Найдем $y$: $y^3 = 216$, значит $y = \sqrt[3]{216} = 6$.

Подставим $(a - 1)$ и $6$ в формулу разности кубов:
$(a - 1)^3 - 216 = (a - 1)^3 - 6^3 = ((a - 1) - 6)((a - 1)^2 + (a - 1) \cdot 6 + 6^2)$.

Теперь упростим каждую из скобок.

Первая скобка: $(a - 1) - 6 = a - 1 - 6 = a - 7$.

Вторая скобка: $(a - 1)^2 + 6(a - 1) + 36$.
Раскроем $(a - 1)^2$ по формуле квадрата разности: $(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$.
Раскроем $6(a - 1)$: $6a - 6$.
Соберем всё вместе: $(a^2 - 2a + 1) + (6a - 6) + 36$.
Приведем подобные слагаемые: $a^2 + (-2a + 6a) + (1 - 6 + 36) = a^2 + 4a + 31$.

Таким образом, разложение на множители имеет вид: $(a - 7)(a^2 + 4a + 31)$.

Ответ: $(a - 7)(a^2 + 4a + 31)$.

2) $(4x + 3)^3 + 27$

Это выражение является суммой кубов. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Здесь $x$ в формуле — это $(4x + 3)$, а $y^3 = 27$, следовательно, $y = \sqrt[3]{27} = 3$.

Подставляем в формулу:
$(4x + 3)^3 + 27 = (4x + 3)^3 + 3^3 = ((4x + 3) + 3)((4x + 3)^2 - (4x + 3) \cdot 3 + 3^2)$.

Упростим полученные множители.

Первый множитель: $(4x + 3) + 3 = 4x + 6$.

Второй множитель: $(4x + 3)^2 - 3(4x + 3) + 9$.
Раскроем квадрат суммы: $(4x + 3)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 + 24x + 9$.
Раскроем скобки: $-3(4x + 3) = -12x - 9$.
Соберем все члены вместе: $(16x^2 + 24x + 9) - 12x - 9 + 9$.
Приведем подобные слагаемые: $16x^2 + (24x - 12x) + (9 - 9 + 9) = 16x^2 + 12x + 9$.

Результат разложения: $(4x + 6)(16x^2 + 12x + 9)$.

Ответ: $(4x + 6)(16x^2 + 12x + 9)$.

3) $125m^6 - (3m - 2)^3$

Это выражение также является разностью кубов. Сначала представим $125m^6$ в виде куба.

$125 = 5^3$ и $m^6 = (m^2)^3$. Следовательно, $125m^6 = (5m^2)^3$.

Теперь выражение имеет вид: $(5m^2)^3 - (3m - 2)^3$.

Применяем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = 5m^2$ и $y = (3m - 2)$.

$(5m^2 - (3m - 2))((5m^2)^2 + 5m^2(3m - 2) + (3m - 2)^2)$.

Упростим каждый множитель.

Первый множитель: $5m^2 - (3m - 2) = 5m^2 - 3m + 2$.

Второй множитель: $(5m^2)^2 + 5m^2(3m - 2) + (3m - 2)^2$.
$(5m^2)^2 = 25m^4$.
$5m^2(3m - 2) = 15m^3 - 10m^2$.
$(3m - 2)^2 = (3m)^2 - 2 \cdot 3m \cdot 2 + 2^2 = 9m^2 - 12m + 4$.
Сложим все части: $25m^4 + (15m^3 - 10m^2) + (9m^2 - 12m + 4)$.
Приведем подобные слагаемые: $25m^4 + 15m^3 + (-10m^2 + 9m^2) - 12m + 4 = 25m^4 + 15m^3 - m^2 - 12m + 4$.

Итоговое разложение: $(5m^2 - 3m + 2)(25m^4 + 15m^3 - m^2 - 12m + 4)$.

Ответ: $(5m^2 - 3m + 2)(25m^4 + 15m^3 - m^2 - 12m + 4)$.

4) $(b + 6)^3 - (b - 6)^3$

Перед нами разность кубов. Воспользуемся формулой $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В этом примере $x = (b + 6)$ и $y = (b - 6)$.

Подставим эти выражения в формулу:
$((b + 6) - (b - 6))((b + 6)^2 + (b + 6)(b - 6) + (b - 6)^2)$.

Упростим каждый из множителей.

Первый множитель: $(b + 6) - (b - 6) = b + 6 - b + 6 = 12$.

Второй множитель: $(b + 6)^2 + (b + 6)(b - 6) + (b - 6)^2$.
Раскроем каждую часть:
$(b + 6)^2 = b^2 + 12b + 36$ (квадрат суммы).
$(b + 6)(b - 6) = b^2 - 36$ (разность квадратов).
$(b - 6)^2 = b^2 - 12b + 36$ (квадрат разности).
Сложим все части: $(b^2 + 12b + 36) + (b^2 - 36) + (b^2 - 12b + 36)$.
Приведем подобные слагаемые: $(b^2 + b^2 + b^2) + (12b - 12b) + (36 - 36 + 36) = 3b^2 + 36$.

Теперь перемножим упрощенные множители: $12 \cdot (3b^2 + 36)$.

Можно вынести общий множитель 3 из второй скобки: $12 \cdot 3(b^2 + 12) = 36(b^2 + 12)$.

Ответ: $36(b^2 + 12)$.