Номер 17, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 17, страница 99.

Условие.

17. Докажите, что при любом целом $n$ значение выражения $(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1$ является квадратом целого числа.

Решение.

Преобразуем данное выражение, найдя произведения многочленов

$n - 2$ и $n + 1$ и многочленов $n - 1$ и $n$:

$(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1 = ((n - 2)(n + 1)) \cdot (n(n - 1)) + 1 =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения $(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1$ является квадратом целого числа при любом целом $n$, преобразуем его.

Сгруппируем множители, перемножив крайние и средние скобки:

$(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1 = ((n - 2)(n + 1)) \cdot ((n - 1)n) + 1$

Раскроем скобки в каждой из групп:

Первая группа: $(n - 2)(n + 1) = n^2 + n - 2n - 2 = n^2 - n - 2$

Вторая группа: $(n - 1)n = n^2 - n$

Подставим полученные многочлены обратно в выражение:

$(n^2 - n - 2)(n^2 - n) + 1$

Для упрощения дальнейших вычислений введем замену. Пусть $t = n^2 - n$. Тогда выражение примет вид:

$(t - 2)t + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 - 2t + 1$

Полученное выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его значение $n^2 - n$:

$(n^2 - n - 1)^2$

Мы доказали, что $(n - 2)(n - 1)n(n + 1) + 1 = (n^2 - n - 1)^2$.

Поскольку $n$ по условию является целым числом, то $n^2$ также целое число. Результат вычитания и сложения целых чисел ($n^2 - n - 1$) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $(n^2 - n - 1)^2$ является квадратом целого числа при любом целом $n$.

Ответ: Исходное выражение тождественно равно $(n^2 - n - 1)^2$. Так как $n$ — целое число, то $n^2 - n - 1$ также является целым числом, а значит, выражение $(n^2 - n - 1)^2$ является квадратом целого числа, что и требовалось доказать.