Номер 15, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 15, страница 99.

Условие.

15. Докажите, что не существует таких значений $x$ и $y$, при которых выполнялось бы равенство $x^4 + y^4 - 4x^2 - 2y^2 + 7 = 0$.

Решение.

Преобразуем данное выражение: $x^4 + y^4 - 4x^2 - 2y^2 + 7 =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства $x^4 + y^4 - 4x^2 - 2y^2 + 7 = 0$ методом выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$:
$(x^4 - 4x^2) + (y^4 - 2y^2) + 7 = 0$

Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Для выражения $x^4 - 4x^2$ имеем $(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат $(x^2 - 2)^2$, нужно добавить и отнять $2^2=4$.
Для выражения $y^4 - 2y^2$ имеем $(y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат $(y^2 - 1)^2$, нужно добавить и отнять $1^2=1$.

Подставим преобразования в исходное уравнение:
$(x^4 - 4x^2 + 4) - 4 + (y^4 - 2y^2 + 1) - 1 + 7 = 0$

Теперь свернем полные квадраты и приведем подобные слагаемые (константы):
$(x^2 - 2)^2 + (y^2 - 1)^2 - 5 + 7 = 0$
$(x^2 - 2)^2 + (y^2 - 1)^2 + 2 = 0$

Перенесем константу в правую часть уравнения:
$(x^2 - 2)^2 + (y^2 - 1)^2 = -2$

Проанализируем полученное равенство. Левая его часть представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Поэтому для любых действительных $x$ и $y$:
$(x^2 - 2)^2 \ge 0$
$(y^2 - 1)^2 \ge 0$

Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна: $(x^2 - 2)^2 + (y^2 - 1)^2 \ge 0$.

Правая часть уравнения равна -2, то есть является отрицательным числом. Таким образом, мы приходим к противоречию: неотрицательная величина (левая часть) не может быть равна отрицательному числу (правая часть).

Это означает, что исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: Доказано, что не существует таких значений $x$ и $y$, при которых выполнялось бы равенство $x^4 + y^4 - 4x^2 - 2y^2 + 7 = 0$.