Номер 12, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 12, страница 97.

Условие.

12. Разложите на множители:

1) $x^2 + 6x + 2xy + y^2 + 6y + 9;$

2) $a^2 - 10a + b^2 + 10b - 2ab + 25.$

Решение.

1) $x^2 + 6x + 2xy + y^2 + 6y + 9 = (x^2 + 2xy + y^2) + (6x + 6y) + 9 =$

$= (x + y)^2 + 6(x + y) + 9 =$

2) $a^2 - 10a + b^2 + 10b - 2ab + 25 =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы разложить на множители выражение $x^2 + 6x + 2xy + y^2 + 6y + 9$, сгруппируем его члены. Выделим в выражении части, которые похожи на формулы сокращенного умножения.

$x^2 + 6x + 2xy + y^2 + 6y + 9 = (x^2 + 2xy + y^2) + (6x + 6y) + 9$

Первая группа, $(x^2 + 2xy + y^2)$, является полным квадратом суммы и равна $(x+y)^2$.

Во второй группе, $(6x + 6y)$, можно вынести за скобки общий множитель 6, получив $6(x+y)$.

Подставим эти результаты обратно в выражение:

$(x+y)^2 + 6(x+y) + 9$

Это выражение также является полным квадратом. Если принять $(x+y)$ за новую переменную, например $z$, то выражение примет вид $z^2 + 6z + 9$. Это квадрат суммы $z$ и 3: $z^2 + 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2 = (z+3)^2$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x+y$ вместо $z$:

$((x+y) + 3)^2 = (x+y+3)^2$

Ответ: $(x+y+3)^2$

2) Для разложения на множители выражения $a^2 - 10a + b^2 + 10b - 2ab + 25$ также применим метод группировки.

Сгруппируем члены следующим образом:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (-10a + 10b) + 25$

Первая группа, $(a^2 - 2ab + b^2)$, является полным квадратом разности и равна $(a-b)^2$.

Во второй группе, $(-10a + 10b)$, вынесем за скобки общий множитель -10, получив $-10(a-b)$.

Подставим преобразованные группы в выражение:

$(a-b)^2 - 10(a-b) + 25$

Это выражение является полным квадратом разности. Если принять $(a-b)$ за новую переменную, например $w$, то выражение примет вид $w^2 - 10w + 25$. Это квадрат разности $w$ и 5: $w^2 - 2 \cdot w \cdot 5 + 5^2 = (w-5)^2$.

Выполним обратную замену, подставив $a-b$ вместо $w$:

$((a-b) - 5)^2 = (a-b-5)^2$

Ответ: $(a-b-5)^2$