Номер 8, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 8, страница 95.

Условие.

8. Выделите из трёхчлена квадрат двучлена:

1) $x^2 - 16x + 70 = x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x + 64 + 6 = (x + 8)^2 + 6$

2) $x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + 1 - = $

3) $4a^2 - 4a + 4 = $

4) $b^2 - 10b = $

5) $9c^2 - 24c + 5 = $

6) $36m^2 + 84m - 15 = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Рассмотрим трёхчлен $x^2 - 16x + 70$. В приведённом в задании примере допущена ошибка в знаке. Приведём верное решение.

Для выделения квадрата двучлена воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В нашем выражении $A^2 = x^2$, значит $A=x$. Средний член $-16x$ должен быть равен $-2AB$.

Подставим $A=x$: $-16x = -2 \cdot x \cdot B$. Отсюда находим $B$: $B = \frac{16x}{2x} = 8$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 8^2 = 64$.

Представим число 70 в виде суммы $64+6$.

$x^2 - 16x + 70 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 64 + 6 = (x^2 - 16x + 64) + 6$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-8)^2$.

Таким образом, $x^2 - 16x + 70 = (x-8)^2 + 6$.

Ответ: $(x-8)^2 + 6$.

2)

Рассмотрим трёхчлен $x^2 + 2x - 3$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = x^2$, следовательно $A=x$. Средний член $2x$ равен $2AB$.

$2x = 2 \cdot x \cdot B$, откуда $B=1$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 1^2 = 1$.

Чтобы не изменить выражение, добавим и вычтем 1:

$x^2 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3$.

Выражение в скобках — это $(x+1)^2$.

Следовательно, $x^2 + 2x - 3 = (x+1)^2 - 4$.

Ответ: $(x+1)^2 - 4$.

3)

Рассмотрим трёхчлен $4a^2 - 4a + 4$.

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Первый член $4a^2 = (2a)^2$, значит $A=2a$. Средний член $-4a$ должен быть равен $-2AB$.

$-4a = -2 \cdot (2a) \cdot B$, откуда $B=1$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 1^2 = 1$.

Представим свободный член 4 как $1+3$.

$4a^2 - 4a + 4 = (4a^2 - 4a + 1) + 3$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(2a-1)^2$.

Таким образом, $4a^2 - 4a + 4 = (2a-1)^2 + 3$.

Ответ: $(2a-1)^2 + 3$.

4)

Рассмотрим двучлен $b^2 - 10b$.

Для выделения квадрата двучлена воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = b^2$, значит $A=b$. Средний член $-10b$ должен быть равен $-2AB$.

$-10b = -2 \cdot b \cdot B$, откуда $B=5$.

Для полного квадрата нам нужно добавить член $B^2 = 5^2 = 25$.

Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и одновременно вычтем 25.

$b^2 - 10b = (b^2 - 2 \cdot b \cdot 5 + 25) - 25$.

Выражение в скобках — это $(b-5)^2$.

Следовательно, $b^2 - 10b = (b-5)^2 - 25$.

Ответ: $(b-5)^2 - 25$.

5)

Рассмотрим трёхчлен $9c^2 - 24c + 5$.

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Первый член $9c^2 = (3c)^2$, значит $A=3c$. Средний член $-24c$ должен быть равен $-2AB$.

$-24c = -2 \cdot (3c) \cdot B = -6c \cdot B$, откуда $B = \frac{24c}{6c} = 4$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 4^2 = 16$.

Добавим и вычтем 16, а затем сгруппируем члены:

$9c^2 - 24c + 5 = (9c^2 - 24c + 16) - 16 + 5$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(3c-4)^2$.

Таким образом, $9c^2 - 24c + 5 = (3c-4)^2 - 11$.

Ответ: $(3c-4)^2 - 11$.

6)

Рассмотрим трёхчлен $36m^2 + 84m - 15$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Первый член $36m^2 = (6m)^2$, значит $A=6m$. Средний член $84m$ должен быть равен $2AB$.

$84m = 2 \cdot (6m) \cdot B = 12m \cdot B$, откуда $B = \frac{84m}{12m} = 7$.

Для полного квадрата нам нужен член $B^2 = 7^2 = 49$.

Добавим и вычтем 49, чтобы не изменить выражение:

$36m^2 + 84m - 15 = (36m^2 + 84m + 49) - 49 - 15$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(6m+7)^2$.

Следовательно, $36m^2 + 84m - 15 = (6m+7)^2 - 64$.

Ответ: $(6m+7)^2 - 64$.