Номер 4, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 4, страница 92.

Условие.

4. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

1) $2x - x^2 - 1 = - (x^2 - 2x + 1) = $

2) $x^2 + xy + 0.25y^2 = $

3) $-1 - 169c^2 - 26c = $

4) $60xy + 36x^2 + 25y^2 = $

5) $-4a^6 - 225a^2b^4 + 60a^4b^2 = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для представления трёхчлена $2x - x² - 1$ в виде, противоположном квадрату двучлена, сначала вынесем знак минус за скобки: $2x - x² - 1 = -(x² - 2x + 1)$. Выражение в скобках $x² - 2x + 1$ является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности $(a-b)² = a² - 2ab + b²$, где $a = x$ и $b = 1$. $x² - 2 \cdot x \cdot 1 + 1² = (x - 1)²$. Таким образом, исходное выражение равно $-(x - 1)²$.
Ответ: $-(x - 1)²$

2) Трёхчлен $x² + xy + 0,25y²$ можно представить в виде квадрата двучлена, используя формулу квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$. Определим $a$ и $b$. Первый член $a² = x²$, следовательно, $a = x$. Третий член $b² = 0,25y² = (0,5y)²$, следовательно, $b = 0,5y$. Проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению $2ab$: $2ab = 2 \cdot x \cdot (0,5y) = xy$. Средний член совпадает, значит, выражение является полным квадратом суммы. $x² + xy + 0,25y² = (x + 0,5y)²$.
Ответ: $(x + 0,5y)²$

3) Рассмотрим трёхчлен $-1 - 169c² - 26c$. Сначала переставим его члены и вынесем знак минус за скобки: $-169c² - 26c - 1 = -(169c² + 26c + 1)$. Теперь преобразуем выражение в скобках, $169c² + 26c + 1$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$. $a² = 169c² = (13c)²$, значит $a = 13c$. $b² = 1 = 1²$, значит $b = 1$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot 13c \cdot 1 = 26c$. Выражение в скобках является полным квадратом: $(13c + 1)²$. Следовательно, исходное выражение равно $-(13c + 1)²$.
Ответ: $-(13c + 1)²$

4) Рассмотрим трёхчлен $60xy + 36x² + 25y²$. Переставим члены для удобства: $36x² + 60xy + 25y²$. Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$. Определим $a$ и $b$. $a² = 36x² = (6x)²$, значит $a = 6x$. $b² = 25y² = (5y)²$, значит $b = 5y$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot (6x) \cdot (5y) = 60xy$. Средний член совпадает. Таким образом, трёхчлен является полным квадратом суммы. $36x² + 60xy + 25y² = (6x + 5y)²$.
Ответ: $(6x + 5y)²$

5) Рассмотрим трёхчлен $-4a⁶ - 225a²b⁴ + 60a⁴b²$. Вынесем знак минус за скобки и упорядочим члены по убыванию степени переменной $a$: $-(4a⁶ - 60a⁴b² + 225a²b⁴)$. Выражение в скобках $4a⁶ - 60a⁴b² + 225a²b⁴$ похоже на квадрат разности $(A-B)² = A² - 2AB + B²$. Определим $A$ и $B$. $A² = 4a⁶ = (2a³)²$, значит $A = 2a³$. $B² = 225a²b⁴ = (15ab²)²$, значит $B = 15ab²$. Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (2a³) \cdot (15ab²) = -60a⁴b²$. Средний член совпадает. Таким образом, выражение в скобках является полным квадратом разности: $(2a³ - 15ab²)²$. Следовательно, исходное выражение равно $-(2a³ - 15ab²)²$.
Ответ: $-(2a³ - 15ab²)²$