Номер 19, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 19, страница 91.

Условие.

19. При каком значении $a$ уравнение $(4x + a)^2 + (3x + 2)^2 = (5x - 4)^2$ не имеет корней?

Решение.

Преобразуем данное уравнение:

$(4x + a)^2 + (3x + 2)^2 = (5x - 4)^2;$

$16x^2 +$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение

Для того чтобы найти значение параметра a, при котором данное уравнение не имеет корней, преобразуем его, раскрыв скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Исходное уравнение:

$(4x + a)^2 + (3x + 2)^2 = (5x - 4)^2$

Раскрываем скобки в каждой части уравнения:

$(16x^2 + 8ax + a^2) + (9x^2 + 12x + 4) = (25x^2 - 40x + 16)$

Сгруппируем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(16x^2 + 9x^2) + (8ax + 12x) + (a^2 + 4) = 25x^2 - 40x + 16$

$25x^2 + (8a + 12)x + a^2 + 4 = 25x^2 - 40x + 16$

Как видно, слагаемые, содержащие $x^2$, одинаковы в обеих частях уравнения. Вычтем $25x^2$ из обеих частей, чтобы их сократить:

$(8a + 12)x + a^2 + 4 = -40x + 16$

Теперь соберем все слагаемые с переменной x в левой части, а все постоянные члены — в правой (или, что то же самое, приведем уравнение к виду $Bx+C=0$):

$(8a + 12)x + 40x + a^2 + 4 - 16 = 0$

Вынесем x за скобки и приведем подобные слагаемые:

$(8a + 12 + 40)x + (a^2 - 12) = 0$

$(8a + 52)x + (a^2 - 12) = 0$

Мы получили линейное уравнение относительно x вида $Bx + C = 0$, где коэффициент при x равен $B = 8a + 52$, а свободный член равен $C = a^2 - 12$.

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной x равен нулю, а свободный член при этом отличен от нуля. То есть, должна выполняться система условий:

$\begin{cases} B = 0 \\ C \neq 0 \end{cases}$

В нашем случае это означает:

$\begin{cases} 8a + 52 = 0 \\ a^2 - 12 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, чтобы найти значение a:

$8a + 52 = 0$

$8a = -52$

$a = -\frac{52}{8} = -\frac{13}{2} = -6.5$

Теперь необходимо проверить, выполняется ли второе условие ($a^2 - 12 \neq 0$) при найденном значении a:

$(-6.5)^2 - 12 = 42.25 - 12 = 30.25$

Так как $30.25 \neq 0$, второе условие выполняется.

Следовательно, при $a = -6.5$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x + 30.25 = 0$, или $30.25 = 0$, что является неверным равенством и не имеет решений.

Ответ: $-6.5$