Номер 2, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 2, страница 92.

Условие.

2. Найдите значение выражения, представив его предварительно в виде квадрата двучлена:

1) $c^2 + 36c + 324$, если $c = -8$;

2) $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6$, если $x = 4, y = -5$;

3) $a^4 + 2a^2 + 1$, если $a^2 + 1 = 3$;

4) $49a^2 - 14ab + b^2$, если $7a - b = 6$.

Решение.

1) $c^2 + 36c + 324 = ( + )^2$

При $c = -8$ имеем: $( + )^2 =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $c^2 + 36c + 324$, если $c = -8$;

Для того чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном выражении первый член $c^2$ является квадратом $c$, а третий член $324$ является квадратом $18$ ($18^2 = 324$). Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению $c$ и $18$.

$2 \cdot c \cdot 18 = 36c$.

Так как средний член совпадает, выражение можно представить в виде квадрата суммы:

$c^2 + 36c + 324 = (c + 18)^2$.

Теперь подставим значение $c = -8$ в полученное выражение:

$(c + 18)^2 = (-8 + 18)^2 = 10^2 = 100$.

Ответ: 100

2) $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6$, если $x = 4, y = -5$;

Для преобразования выражения используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Первый член $\frac{1}{16}x^4$ является квадратом $\frac{1}{4}x^2$, так как $(\frac{1}{4}x^2)^2 = \frac{1}{16}x^4$. Таким образом, $a = \frac{1}{4}x^2$.

Третий член $16y^6$ является квадратом $4y^3$, так как $(4y^3)^2 = 16y^6$. Таким образом, $b = 4y^3$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (\frac{1}{4}x^2) \cdot (4y^3) = 2x^2y^3$.

Значит, выражение равно квадрату разности:

$\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6 = (\frac{1}{4}x^2 - 4y^3)^2$.

Подставим значения $x = 4$ и $y = -5$:

$(\frac{1}{4}(4)^2 - 4(-5)^3)^2 = (\frac{1}{4} \cdot 16 - 4(-125))^2 = (4 - (-500))^2 = (4 + 500)^2 = 504^2 = 254016$.

Ответ: 254016

3) $a^4 + 2a^2 + 1$, если $a^2 + 1 = 3$;

Представим выражение в виде квадрата двучлена по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении $a^4 = (a^2)^2$ и $1 = 1^2$. Пусть $x = a^2$ и $y = 1$.

Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot a^2 \cdot 1 = 2a^2$.

Выражение является полным квадратом:

$a^4 + 2a^2 + 1 = (a^2 + 1)^2$.

По условию задачи нам дано, что $a^2 + 1 = 3$. Подставим это значение в наше выражение:

$(a^2 + 1)^2 = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

4) $49a^2 - 14ab + b^2$, если $7a - b = 6$;

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении первый член $49a^2 = (7a)^2$, значит $x = 7a$.

Третий член $b^2 = (b)^2$, значит $y = b$.

Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (7a) \cdot b = 14ab$.

Таким образом, выражение можно записать как квадрат разности:

$49a^2 - 14ab + b^2 = (7a - b)^2$.

Из условия известно, что $7a - b = 6$. Подставим это значение в полученное выражение:

$(7a - b)^2 = 6^2 = 36$.

Ответ: 36