Номер 15, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 15, страница 89.

Условие.

15. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 9 равен 3, то квадрат этого числа делится нацело на 9.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — натуральное число, которое по условию при делении на 9 дает в остатке 3. Такое число можно представить в виде формулы:

$n = 9k + 3$

где $k$ — это неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом ($k \in \{0, 1, 2, ...\}$).

Теперь найдем квадрат этого числа, $n^2$:

$n^2 = (9k + 3)^2$

Для раскрытия скобок применим формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$n^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 3 + 3^2$

Выполним вычисления:

$n^2 = 81k^2 + 54k + 9$

Чтобы доказать, что $n^2$ делится на 9 нацело, необходимо показать, что 9 является множителем в этом выражении. Вынесем 9 за скобки:

$n^2 = 9(9k^2 + 6k + 1)$

Так как $k$ — целое число, то и выражение в скобках $(9k^2 + 6k + 1)$ также является целым числом. Обозначим его за $m$. Тогда мы получаем:

$n^2 = 9m$

Это выражение по определению означает, что $n^2$ является кратным числу 9, то есть делится на 9 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Если число $n$ можно представить как $n = 9k + 3$, то его квадрат равен $n^2 = (9k + 3)^2 = 81k^2 + 54k + 9 = 9(9k^2 + 6k + 1)$. Поскольку выражение в скобках является целым числом, $n^2$ всегда делится на 9 нацело.