Номер 8, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений - номер 8, страница 86.

Условие.

8. Заполните пропуски такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(5a + \text{\_\_\_\_\_\_\_})^2 = 25a^2 + \text{\_\_\_\_\_\_\_} + 16b^2$

2) $(\text{\_\_\_\_\_\_\_} - \frac{1}{3}n)^2 = \text{\_\_\_\_\_\_\_} - 2mn + \text{\_\_\_\_\_\_\_}$

3) $(\text{\_\_\_\_\_\_\_} + \text{\_\_\_\_\_\_\_})^2 = c^2 + \text{\_\_\_\_\_\_\_} + 64q^4$

4) $(\text{\_\_\_\_\_\_\_} + \text{\_\_\_\_\_\_\_})^2 = 0,09a^8 - 0,54a^{11} + \text{\_\_\_\_\_\_\_}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) В задании $(5a + \_\_)^2 = 25a^2 + \_\_ + 16b^2$ необходимо заполнить пропуски, используя формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член в скобках нам известен: $x = 5a$. Его квадрат $x^2 = (5a)^2 = 25a^2$, что соответствует первому слагаемому в правой части равенства.

Третье слагаемое в правой части, $16b^2$, является квадратом второго члена в скобках: $y^2 = 16b^2$. Отсюда находим сам член: $y = \sqrt{16b^2} = 4b$. Этот одночлен нужно вписать в первый пропуск.

Средний член в правой части — это удвоенное произведение первого и второго членов: $2xy = 2 \cdot 5a \cdot 4b = 40ab$. Это значение для второго пропуска.

Ответ: $(5a + 4b)^2 = 25a^2 + 40ab + 16b^2$.

2) В задании $(\_\_ - \frac{1}{3}n)^2 = \_\_ - 2mn + \_\_$ мы используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части нам известен второй член $y = \frac{1}{3}n$. В правой части известен средний член (удвоенное произведение с минусом): $-2xy = -2mn$.

Подставим известный $y$ в это равенство, чтобы найти $x$: $-2 \cdot x \cdot (\frac{1}{3}n) = -2mn$. Сократив обе части на $-2n$, получим $\frac{1}{3}x = m$, откуда $x = 3m$. Вписываем $3m$ в первый пропуск в скобках.

Первый пропуск в правой части — это квадрат первого члена: $x^2 = (3m)^2 = 9m^2$.

Третий пропуск в правой части — это квадрат второго члена: $y^2 = (\frac{1}{3}n)^2 = \frac{1}{9}n^2$.

Ответ: $(3m - \frac{1}{3}n)^2 = 9m^2 - 2mn + \frac{1}{9}n^2$.

3) В задании $(\_\_ + \_\_)^2 = c^2 + \_\_ + 64q^4$ снова применяем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Из правой части нам известны квадраты обоих членов из скобок. Квадрат первого члена $x^2 = c^2$, следовательно, сам член $x=c$.

Квадрат второго члена $y^2 = 64q^4$, следовательно, сам член $y = \sqrt{64q^4} = 8q^2$.

Вписываем найденные одночлены в скобки в левой части: $(c + 8q^2)^2$.

Пропущенный средний член в правой части — это удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot c \cdot 8q^2 = 16cq^2$.

Ответ: $(c + 8q^2)^2 = c^2 + 16cq^2 + 64q^4$.

4) В задании $(\_\_ + \_\_)^2 = 0,09a^8 - 0,54a^{11} + \_\_$ знак минуса у среднего члена в правой части указывает на формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Так как в левой части в скобках стоит знак плюс, это означает, что один из одночленов должен быть отрицательным, то есть тождество имеет вид $(x + (-y))^2 = (x-y)^2$.

Первый член в правой части — это $x^2 = 0,09a^8$. Отсюда $x = \sqrt{0,09a^8} = 0,3a^4$.

Средний член равен $-2xy = -0,54a^{11}$. Подставим найденный $x$: $-2 \cdot (0,3a^4) \cdot y = -0,54a^{11}$.

Упростим: $-0,6a^4 \cdot y = -0,54a^{11}$.

Отсюда находим $y$: $y = \frac{-0,54a^{11}}{-0,6a^4} = 0,9a^7$.

Таким образом, в скобках должны стоять одночлены $x=0,3a^4$ и $-y = -0,9a^7$.

Последний пропущенный член в правой части — это квадрат второго члена $y^2 = (0,9a^7)^2 = 0,81a^{14}$.

Ответ: $(0,3a^4 - 0,9a^7)^2 = 0,09a^8 - 0,54a^{11} + 0,81a^{14}$.