Номер 7, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений - номер 7, страница 86.

Условие.

7. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $(a+7)^2 - (a+6)(a+8) = $

2) $(b-4)^2 + (2-b)(b-6) = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения все члены с переменной сократятся и останется только число, то утверждение будет доказано.

Упростим выражение $(a+7)^2 - (a+6)(a+8)$.

Сначала раскроем квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a+7)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = a^2 + 14a + 49$

Затем раскроем скобки, перемножив многочлены $(a+6)$ и $(a+8)$:

$(a+6)(a+8) = a \cdot a + a \cdot 8 + 6 \cdot a + 6 \cdot 8 = a^2 + 8a + 6a + 48 = a^2 + 14a + 48$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(a^2 + 14a + 49) - (a^2 + 14a + 48)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:

$a^2 + 14a + 49 - a^2 - 14a - 48$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (14a - 14a) + (49 - 48) = 0 + 0 + 1 = 1$

Значение выражения равно 1 и не зависит от переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: 1

2) Упростим выражение $(b-4)^2 + (2-b)(b-6)$ по аналогии с первым пунктом.

Сначала раскроем квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(b-4)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = b^2 - 8b + 16$

Затем раскроем скобки, перемножив многочлены $(2-b)$ и $(b-6)$:

$(2-b)(b-6) = 2 \cdot b + 2 \cdot (-6) - b \cdot b - b \cdot (-6) = 2b - 12 - b^2 + 6b = -b^2 + 8b - 12$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(b^2 - 8b + 16) + (-b^2 + 8b - 12)$

Раскроем вторые скобки. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются:

$b^2 - 8b + 16 - b^2 + 8b - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) + (-8b + 8b) + (16 - 12) = 0 + 0 + 4 = 4$

Значение выражения равно 4 и не зависит от переменной $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: 4