Страница 86 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

7. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $(a+7)^2 - (a+6)(a+8) = $

2) $(b-4)^2 + (2-b)(b-6) = $

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения все члены с переменной сократятся и останется только число, то утверждение будет доказано.

Упростим выражение $(a+7)^2 - (a+6)(a+8)$.

Сначала раскроем квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a+7)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = a^2 + 14a + 49$

Затем раскроем скобки, перемножив многочлены $(a+6)$ и $(a+8)$:

$(a+6)(a+8) = a \cdot a + a \cdot 8 + 6 \cdot a + 6 \cdot 8 = a^2 + 8a + 6a + 48 = a^2 + 14a + 48$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(a^2 + 14a + 49) - (a^2 + 14a + 48)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:

$a^2 + 14a + 49 - a^2 - 14a - 48$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (14a - 14a) + (49 - 48) = 0 + 0 + 1 = 1$

Значение выражения равно 1 и не зависит от переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: 1

2) Упростим выражение $(b-4)^2 + (2-b)(b-6)$ по аналогии с первым пунктом.

Сначала раскроем квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(b-4)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = b^2 - 8b + 16$

Затем раскроем скобки, перемножив многочлены $(2-b)$ и $(b-6)$:

$(2-b)(b-6) = 2 \cdot b + 2 \cdot (-6) - b \cdot b - b \cdot (-6) = 2b - 12 - b^2 + 6b = -b^2 + 8b - 12$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(b^2 - 8b + 16) + (-b^2 + 8b - 12)$

Раскроем вторые скобки. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются:

$b^2 - 8b + 16 - b^2 + 8b - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) + (-8b + 8b) + (16 - 12) = 0 + 0 + 4 = 4$

Значение выражения равно 4 и не зависит от переменной $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: 4

8. Заполните пропуски такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(5a + \text{\_\_\_\_\_\_\_})^2 = 25a^2 + \text{\_\_\_\_\_\_\_} + 16b^2$

2) $(\text{\_\_\_\_\_\_\_} - \frac{1}{3}n)^2 = \text{\_\_\_\_\_\_\_} - 2mn + \text{\_\_\_\_\_\_\_}$

3) $(\text{\_\_\_\_\_\_\_} + \text{\_\_\_\_\_\_\_})^2 = c^2 + \text{\_\_\_\_\_\_\_} + 64q^4$

4) $(\text{\_\_\_\_\_\_\_} + \text{\_\_\_\_\_\_\_})^2 = 0,09a^8 - 0,54a^{11} + \text{\_\_\_\_\_\_\_}$

1) В задании $(5a + \_\_)^2 = 25a^2 + \_\_ + 16b^2$ необходимо заполнить пропуски, используя формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член в скобках нам известен: $x = 5a$. Его квадрат $x^2 = (5a)^2 = 25a^2$, что соответствует первому слагаемому в правой части равенства.

Третье слагаемое в правой части, $16b^2$, является квадратом второго члена в скобках: $y^2 = 16b^2$. Отсюда находим сам член: $y = \sqrt{16b^2} = 4b$. Этот одночлен нужно вписать в первый пропуск.

Средний член в правой части — это удвоенное произведение первого и второго членов: $2xy = 2 \cdot 5a \cdot 4b = 40ab$. Это значение для второго пропуска.

Ответ: $(5a + 4b)^2 = 25a^2 + 40ab + 16b^2$.

2) В задании $(\_\_ - \frac{1}{3}n)^2 = \_\_ - 2mn + \_\_$ мы используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части нам известен второй член $y = \frac{1}{3}n$. В правой части известен средний член (удвоенное произведение с минусом): $-2xy = -2mn$.

Подставим известный $y$ в это равенство, чтобы найти $x$: $-2 \cdot x \cdot (\frac{1}{3}n) = -2mn$. Сократив обе части на $-2n$, получим $\frac{1}{3}x = m$, откуда $x = 3m$. Вписываем $3m$ в первый пропуск в скобках.

Первый пропуск в правой части — это квадрат первого члена: $x^2 = (3m)^2 = 9m^2$.

Третий пропуск в правой части — это квадрат второго члена: $y^2 = (\frac{1}{3}n)^2 = \frac{1}{9}n^2$.

Ответ: $(3m - \frac{1}{3}n)^2 = 9m^2 - 2mn + \frac{1}{9}n^2$.

3) В задании $(\_\_ + \_\_)^2 = c^2 + \_\_ + 64q^4$ снова применяем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Из правой части нам известны квадраты обоих членов из скобок. Квадрат первого члена $x^2 = c^2$, следовательно, сам член $x=c$.

Квадрат второго члена $y^2 = 64q^4$, следовательно, сам член $y = \sqrt{64q^4} = 8q^2$.

Вписываем найденные одночлены в скобки в левой части: $(c + 8q^2)^2$.

Пропущенный средний член в правой части — это удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot c \cdot 8q^2 = 16cq^2$.

Ответ: $(c + 8q^2)^2 = c^2 + 16cq^2 + 64q^4$.

4) В задании $(\_\_ + \_\_)^2 = 0,09a^8 - 0,54a^{11} + \_\_$ знак минуса у среднего члена в правой части указывает на формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Так как в левой части в скобках стоит знак плюс, это означает, что один из одночленов должен быть отрицательным, то есть тождество имеет вид $(x + (-y))^2 = (x-y)^2$.

Первый член в правой части — это $x^2 = 0,09a^8$. Отсюда $x = \sqrt{0,09a^8} = 0,3a^4$.

Средний член равен $-2xy = -0,54a^{11}$. Подставим найденный $x$: $-2 \cdot (0,3a^4) \cdot y = -0,54a^{11}$.

Упростим: $-0,6a^4 \cdot y = -0,54a^{11}$.

Отсюда находим $y$: $y = \frac{-0,54a^{11}}{-0,6a^4} = 0,9a^7$.

Таким образом, в скобках должны стоять одночлены $x=0,3a^4$ и $-y = -0,9a^7$.

Последний пропущенный член в правой части — это квадрат второго члена $y^2 = (0,9a^7)^2 = 0,81a^{14}$.

Ответ: $(0,3a^4 - 0,9a^7)^2 = 0,09a^8 - 0,54a^{11} + 0,81a^{14}$.

9. Придумайте 8 различных двучленов таких, что трёхчлены, равные квадратам этих двучленов, содержат одночлен $18ab$.

1) $ (\quad + \quad)^2 = \quad + 18ab + \quad $

2) $ (\quad + \quad)^2 = \quad + 18ab + \quad $

3) $ (\quad + \quad)^2 = \quad + 18ab + \quad $

4) $ (\quad + \quad)^2 = \quad + 18ab + \quad $

5) $ (\quad + \quad)^2 = \quad + 18ab + \quad $

6) $ (\quad + \quad)^2 = \quad + 18ab + \quad $

7) $ (\quad + \quad)^2 = \quad + 18ab + \quad $

8) $ (\quad + \quad)^2 = \quad + 18ab + \quad $

Для решения этой задачи воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Из условия задачи следует, что член трёхчлена, равный удвоенному произведению членов двучлена, составляет $18ab$. Таким образом, мы можем записать равенство:

$2xy = 18ab$

Разделив обе части на 2, получим:

$xy = 9ab$

Теперь нам нужно найти 8 различных двучленов $(x+y)$ таких, что произведение их членов $x$ и $y$ равно $9ab$. Следует учесть, что двучлены $(x+y)$ и $(-x-y)$ являются различными, однако их квадраты равны: $(-x-y)^2 = (-(x+y))^2 = (x+y)^2$. Это позволяет нам на основе одной пары $(x,y)$ получить два различных двучлена.

Ниже приведены 8 примеров.

1)

Пусть $x = a$ и $y = 9b$. Их произведение $xy = a \cdot 9b = 9ab$. Составим двучлен $(a + 9b)$.

Возведём его в квадрат:

$(a + 9b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (9b) + (9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2$

Ответ: $(a + 9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2$.

2)

Возьмём двучлен, противоположный предыдущему: $(-a - 9b)$.

Его квадрат будет таким же:

$(-a - 9b)^2 = (-a)^2 + 2(-a)(-9b) + (-9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2$

Ответ: $(-a - 9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2$.

3)

Пусть $x = 9a$ и $y = b$. Их произведение $xy = 9a \cdot b = 9ab$. Составим двучлен $(9a + b)$.

Возведём его в квадрат:

$(9a + b)^2 = (9a)^2 + 2 \cdot (9a) \cdot b + b^2 = 81a^2 + 18ab + b^2$

Ответ: $(9a + b)^2 = 81a^2 + 18ab + b^2$.

4)

Возьмём двучлен, противоположный предыдущему: $(-9a - b)$.

Его квадрат будет таким же:

$(-9a - b)^2 = (-9a)^2 + 2(-9a)(-b) + (-b)^2 = 81a^2 + 18ab + b^2$

Ответ: $(-9a - b)^2 = 81a^2 + 18ab + b^2$.

5)

Пусть $x = 3a$ и $y = 3b$. Их произведение $xy = 3a \cdot 3b = 9ab$. Составим двучлен $(3a + 3b)$.

Возведём его в квадрат:

$(3a + 3b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 9a^2 + 18ab + 9b^2$

Ответ: $(3a + 3b)^2 = 9a^2 + 18ab + 9b^2$.

6)

Возьмём двучлен, противоположный предыдущему: $(-3a - 3b)$.

Его квадрат будет таким же:

$(-3a - 3b)^2 = (-3a)^2 + 2(-3a)(-3b) + (-3b)^2 = 9a^2 + 18ab + 9b^2$

Ответ: $(-3a - 3b)^2 = 9a^2 + 18ab + 9b^2$.

7)

Пусть $x = 9$ и $y = ab$. Их произведение $xy = 9 \cdot ab = 9ab$. Составим двучлен $(9 + ab)$.

Возведём его в квадрат:

$(9 + ab)^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot ab + (ab)^2 = 81 + 18ab + a^2b^2$

Ответ: $(9 + ab)^2 = 81 + 18ab + a^2b^2$.

8)

Возьмём двучлен, противоположный предыдущему: $(-9 - ab)$.

Его квадрат будет таким же:

$(-9 - ab)^2 = (-9)^2 + 2(-9)(-ab) + (-ab)^2 = 81 + 18ab + a^2b^2$

Ответ: $(-9 - ab)^2 = 81 + 18ab + a^2b^2$.

10. Выполните возведение в квадрат:

1) $(-7a + 2b)^2 = (-7a)^2 + 2 \cdot (-7a) \cdot 2b + \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$

2) $(-3x - 5y)^2 = \underline{\hspace{8cm}}$

3) $(-0,6m - 20n^2)^2 = \underline{\hspace{8cm}}$

4) $(-2a^3 + \frac{1}{12} b^4)^2 = \underline{\hspace{8cm}}$

1)

Для возведения в квадрат выражения $(-7a + 2b)^2$ используется формула квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном случае $x = -7a$ и $y = 2b$. В задании уже дана часть решения, которую нужно дополнить и вычислить.

$(-7a + 2b)^2 = (-7a)^2 + 2 \cdot (-7a) \cdot 2b + (2b)^2$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

Квадрат первого слагаемого: $(-7a)^2 = (-7)^2 \cdot a^2 = 49a^2$.

Удвоенное произведение первого и второго слагаемых: $2 \cdot (-7a) \cdot 2b = -28ab$.

Квадрат второго слагаемого: $(2b)^2 = 2^2 \cdot b^2 = 4b^2$.

Собрав все части вместе, получаем многочлен:

$49a^2 - 28ab + 4b^2$

Ответ: $49a^2 - 28ab + 4b^2$

2)

Для возведения в квадрат выражения $(-3x - 5y)^2$ можно вынести знак минус за скобки и воспользоваться свойством $(-z)^2=z^2$.

$(-3x - 5y)^2 = (-(3x + 5y))^2 = (3x + 5y)^2$

Теперь применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = 3x$ и $y = 5y$.

$(3x + 5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (5y) + (5y)^2$

Выполним вычисления:

$(3x)^2 = 9x^2$

$2 \cdot 3x \cdot 5y = 30xy$

$(5y)^2 = 25y^2$

Складываем полученные одночлены:

$9x^2 + 30xy + 25y^2$

Ответ: $9x^2 + 30xy + 25y^2$

3)

Для выражения $(-0,6m - 20n^2)^2$ применим тот же подход, что и в предыдущем пункте.

$(-0,6m - 20n^2)^2 = (-(0,6m + 20n^2))^2 = (0,6m + 20n^2)^2$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = 0,6m$ и $y = 20n^2$.

$(0,6m + 20n^2)^2 = (0,6m)^2 + 2 \cdot (0,6m) \cdot (20n^2) + (20n^2)^2$

Выполним вычисления:

$(0,6m)^2 = 0,36m^2$

$2 \cdot 0,6m \cdot 20n^2 = 1,2m \cdot 20n^2 = 24mn^2$

$(20n^2)^2 = 20^2 \cdot (n^2)^2 = 400n^4$

Результат:

$0,36m^2 + 24mn^2 + 400n^4$

Ответ: $0,36m^2 + 24mn^2 + 400n^4$

4)

Для возведения в квадрат выражения $(-2a^3 + \frac{1}{12}b^4)^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = -2a^3$ и $y = \frac{1}{12}b^4$.

$(-2a^3 + \frac{1}{12}b^4)^2 = (-2a^3)^2 + 2 \cdot (-2a^3) \cdot (\frac{1}{12}b^4) + (\frac{1}{12}b^4)^2$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

$(-2a^3)^2 = (-2)^2 \cdot (a^3)^2 = 4a^6$

$2 \cdot (-2a^3) \cdot (\frac{1}{12}b^4) = -4a^3 \cdot \frac{1}{12}b^4 = -\frac{4}{12}a^3b^4 = -\frac{1}{3}a^3b^4$

$(\frac{1}{12}b^4)^2 = (\frac{1}{12})^2 \cdot (b^4)^2 = \frac{1}{144}b^8$

Собираем все вместе:

$4a^6 - \frac{1}{3}a^3b^4 + \frac{1}{144}b^8$

Ответ: $4a^6 - \frac{1}{3}a^3b^4 + \frac{1}{144}b^8$