Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

2. Подчеркните равенство, являющееся тождеством.

1) $(3a + 4)^2 = 9a^2 + 16$

2) $(3a + 4)^2 = 9a^2 + 12a + 16$

3) $(3a + 4)^2 = 9a^2 + 24a + 16$

4) $(3a + 4)^2 = 6a^2 + 24a + 16$

Для того чтобы определить, какое из предложенных равенств является тождеством, необходимо раскрыть скобки в левой части выражения $(3a + 4)^2$. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения — квадратом суммы:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

В данном случае, $x = 3a$ и $y = 4$.

Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:

$(3a + 4)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot 4 + 4^2 = 9a^2 + 24a + 16$

Теперь сравним полученный результат с каждым из вариантов:

1) $(3a + 4)^2 = 9a^2 + 16$

Равенство неверное. В правой части отсутствует удвоенное произведение слагаемых, равное $24a$.

2) $(3a + 4)^2 = 9a^2 + 12a + 16$

Равенство неверное. Коэффициент при $a$ в правой части равен $12$, в то время как правильное значение удвоенного произведения — $24a$.

3) $(3a + 4)^2 = 9a^2 + 24a + 16$

Равенство верное. Правая часть полностью совпадает с результатом, полученным после раскрытия скобок по формуле квадрата суммы. Это и есть искомое тождество.

4) $(3a + 4)^2 = 6a^2 + 24a + 16$

Равенство неверное. Первый член в правой части должен быть $(3a)^2 = 9a^2$, а не $6a^2$.

Ответ: 3) $(3a + 4)^2 = 9a^2 + 24a + 16$

3. Выполните возведение в квадрат:

1) $(a - 1)^2 =$

2) $(2x + 1)^2 =$

3) $(3x + 5y)^2 =$

4) $(ab - 9)^2 =$

5) $(\frac{1}{2}a + 6b)^2 =$

6) $(4a^2 - c^3)^2 =$

7) $(\frac{1}{3}x^4 + 0,6y^5)^2 =$

8) $(\frac{1}{7}ab - \frac{7}{16}c)^2 =$

1) $(a - 1)^2$

Для возведения в квадрат данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае первый член $x = a$, а второй член $y = 1$.

Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:

$(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$.

Ответ: $a^2 - 2a + 1$

2) $(2x + 1)^2$

Для раскрытия скобок применим формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь первый член $x = 2x$, а второй член $y = 1$.

Подставим значения в формулу и упростим выражение:

$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

Ответ: $4x^2 + 4x + 1$

3) $(3x + 5y)^2$

Используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном выражении $a = 3x$ и $b = 5y$.

Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

$(3x + 5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (5y) + (5y)^2 = 9x^2 + 30xy + 25y^2$.

Ответ: $9x^2 + 30xy + 25y^2$

4) $(ab - 9)^2$

Применим формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В этом случае $x = ab$ и $y = 9$.

Подставим в формулу и упростим:

$(ab - 9)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot (ab) \cdot 9 + 9^2 = a^2b^2 - 18ab + 81$.

Ответ: $a^2b^2 - 18ab + 81$

5) $(\frac{1}{2}a + 6b)^2$

Для решения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем примере $x = \frac{1}{2}a$ и $y = 6b$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:

$(\frac{1}{2}a + 6b)^2 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (6b) + (6b)^2 = \frac{1}{4}a^2 + 6ab + 36b^2$.

Ответ: $\frac{1}{4}a^2 + 6ab + 36b^2$

6) $(4a^2 - c^3)^2$

Используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = 4a^2$ и $y = c^3$.

Подставляем в формулу и выполняем преобразования. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

$(4a^2 - c^3)^2 = (4a^2)^2 - 2 \cdot (4a^2) \cdot (c^3) + (c^3)^2 = 16a^{2 \cdot 2} - 8a^2c^3 + c^{3 \cdot 2} = 16a^4 - 8a^2c^3 + c^6$.

Ответ: $16a^4 - 8a^2c^3 + c^6$

7) $(\frac{1}{3}x^4 + 0,6y^5)^2$

Применим формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В этом выражении $a = \frac{1}{3}x^4$ и $b = 0,6y^5$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,6$ в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Подставим значения в формулу и выполним вычисления:

$(\frac{1}{3}x^4 + \frac{3}{5}y^5)^2 = (\frac{1}{3}x^4)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{3}x^4) \cdot (\frac{3}{5}y^5) + (\frac{3}{5}y^5)^2 = \frac{1}{9}x^8 + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5}x^4y^5 + \frac{9}{25}y^{10} = \frac{1}{9}x^8 + \frac{2}{5}x^4y^5 + \frac{9}{25}y^{10}$.

Ответ: $\frac{1}{9}x^8 + \frac{2}{5}x^4y^5 + \frac{9}{25}y^{10}$

8) $(\frac{1}{7}ab - \frac{7}{16}c)^2$

Для возведения в квадрат воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = \frac{1}{7}ab$ и $y = \frac{7}{16}c$.

Подставим значения в формулу, выполним вычисления и упростим удвоенное произведение:

$(\frac{1}{7}ab - \frac{7}{16}c)^2 = (\frac{1}{7}ab)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{7}ab) \cdot (\frac{7}{16}c) + (\frac{7}{16}c)^2 = \frac{1}{49}a^2b^2 - \frac{2 \cdot 1 \cdot 7}{7 \cdot 16}abc + \frac{49}{256}c^2 = \frac{1}{49}a^2b^2 - \frac{2}{16}abc + \frac{49}{256}c^2 = \frac{1}{49}a^2b^2 - \frac{1}{8}abc + \frac{49}{256}c^2$.

Ответ: $\frac{1}{49}a^2b^2 - \frac{1}{8}abc + \frac{49}{256}c^2$

4. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

1) $385^2 + 254^2 \square (385 + 254)^2$

2) $(3,28 + 2,86)^2 \square 3,28^2 + 2,86^2$

1) Сравним выражения $385^2 + 254^2$ и $(385 + 254)^2$.

Для сравнения воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = 385$ и $b = 254$. Тогда выражение в правой части можно раскрыть по этой формуле:

$(385 + 254)^2 = 385^2 + 2 \cdot 385 \cdot 254 + 254^2$.

Теперь необходимо сравнить два выражения:

Левое: $385^2 + 254^2$.

Правое: $385^2 + 254^2 + 2 \cdot 385 \cdot 254$.

Очевидно, что правое выражение больше левого на величину $2 \cdot 385 \cdot 254$. Поскольку числа $385$ и $254$ положительные, их произведение $2 \cdot 385 \cdot 254$ также является положительным числом.

Следовательно, $385^2 + 254^2 < (385 + 254)^2$.

Ответ: $385^2 + 254^2 < (385 + 254)^2$.

2) Сравним выражения $(3,28 + 2,86)^2$ и $3,28^2 + 2,86^2$.

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = 3,28$ и $b = 2,86$. Раскроем скобки в левом выражении:

$(3,28 + 2,86)^2 = 3,28^2 + 2 \cdot 3,28 \cdot 2,86 + 2,86^2$.

Теперь сравним полученное выражение с выражением в правой части:

Левое: $3,28^2 + 2,86^2 + 2 \cdot 3,28 \cdot 2,86$.

Правое: $3,28^2 + 2,86^2$.

Левое выражение больше правого на величину $2 \cdot 3,28 \cdot 2,86$. Поскольку числа $3,28$ и $2,86$ положительные, слагаемое $2 \cdot 3,28 \cdot 2,86$ является положительным числом.

Следовательно, $(3,28 + 2,86)^2 > 3,28^2 + 2,86^2$.

Ответ: $(3,28 + 2,86)^2 > 3,28^2 + 2,86^2$.

5. Упростите выражение:

1) $a^2 + (4 - a)^2 =$

2) $(7x - 2)^2 + 28x =$

3) $b^2 + 100 - (b - 10)^2 =$

4) $2m(m + 1) - (m - 3)^2 =$

5) $(x - 8)^2 - (x - 6)(x + 6) =$

6) $(3x - 5)^2 - (3x - 1)(3x + 5) =$

1) $a^2 + (4 - a)^2$

Для упрощения этого выражения раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(4 - a)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot a + a^2 = 16 - 8a + a^2$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$a^2 + (16 - 8a + a^2) = a^2 + 16 - 8a + a^2$.

Приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(a^2 + a^2) - 8a + 16 = 2a^2 - 8a + 16$.

Ответ: $2a^2 - 8a + 16$.

2) $(7x - 2)^2 + 28x$

Сначала раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(7x - 2)^2 = (7x)^2 - 2 \cdot 7x \cdot 2 + 2^2 = 49x^2 - 28x + 4$.

Подставим это в исходное выражение:

$(49x^2 - 28x + 4) + 28x = 49x^2 - 28x + 4 + 28x$.

Сократим подобные слагаемые ($-28x$ и $28x$ взаимно уничтожаются):

$49x^2 + 4$.

Ответ: $49x^2 + 4$.

3) $b^2 + 100 - (b - 10)^2$

Раскроем скобки $(b - 10)^2$ по формуле квадрата разности.

$(b - 10)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 10 + 10^2 = b^2 - 20b + 100$.

Подставим в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные при их раскрытии:

$b^2 + 100 - (b^2 - 20b + 100) = b^2 + 100 - b^2 + 20b - 100$.

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) + 20b + (100 - 100) = 0 + 20b + 0 = 20b$.

Ответ: $20b$.

4) $2m(m + 1) - (m - 3)^2$

Упростим выражение по частям. Сначала раскроем первые скобки, используя распределительный закон умножения:

$2m(m + 1) = 2m \cdot m + 2m \cdot 1 = 2m^2 + 2m$.

Затем раскроем вторые скобки по формуле квадрата разности:

$(m - 3)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2 = m^2 - 6m + 9$.

Теперь объединим все вместе, не забывая поменять знаки во втором выражении из-за минуса перед скобкой:

$(2m^2 + 2m) - (m^2 - 6m + 9) = 2m^2 + 2m - m^2 + 6m - 9$.

Приведем подобные слагаемые:

$(2m^2 - m^2) + (2m + 6m) - 9 = m^2 + 8m - 9$.

Ответ: $m^2 + 8m - 9$.

5) $(x - 8)^2 - (x - 6)(x + 6)$

Это выражение содержит две формулы сокращенного умножения: квадрат разности и разность квадратов.

Раскроем первую скобку: $(x - 8)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$.

Раскроем вторую часть по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$(x - 6)(x + 6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 16x + 64) - (x^2 - 36) = x^2 - 16x + 64 - x^2 + 36$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 16x + (64 + 36) = 0 - 16x + 100 = -16x + 100$.

Ответ: $100 - 16x$.

6) $(3x - 5)^2 - (3x - 1)(3x + 5)$

Сначала раскроем первую скобку по формуле квадрата разности:

$(3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25$.

Затем раскроем произведение двух скобок $(3x - 1)(3x + 5)$, перемножив каждый член первой скобки на каждый член второй (метод FOIL):

$(3x - 1)(3x + 5) = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 5 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 5 = 9x^2 + 15x - 3x - 5$.

Приведем подобные слагаемые во втором выражении: $9x^2 + (15x - 3x) - 5 = 9x^2 + 12x - 5$.

Теперь подставим все в исходное выражение:

$(9x^2 - 30x + 25) - (9x^2 + 12x - 5) = 9x^2 - 30x + 25 - 9x^2 - 12x + 5$.

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 9x^2) + (-30x - 12x) + (25 + 5) = 0 - 42x + 30 = -42x + 30$.

Ответ: $30 - 42x$.