Номер 3, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 3, страница 92.

Условие.

3. Заполните пропуск таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена.

1) $___ + 8a + a^2$

2) $16m^2 - 24mn + ___$

3) $9x^2 + ___ + 4$

4) $1,21a^2b^4 + ___ + 0,36b^6$

5) $a^4b^2 - 16a^3b^5 + ___$

6) $___ - a^7b^7 + \frac{25}{49}a^{10}b^8$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы заполнить пропуски, мы будем использовать формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) ___ $ + 8a + a^2$

Данное выражение соответствует формуле квадрата суммы. Перепишем его в стандартном виде: $a^2 + 8a +$ ___.

Здесь первый член в квадрате - это $a^2$. Удвоенное произведение первого члена на второй - это $8a$.

Пусть первый член двучлена равен $x=a$. Тогда удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot a \cdot y = 8a$. Отсюда находим второй член $y = \frac{8a}{2a} = 4$.

Пропущенный член - это квадрат второго члена, то есть $y^2 = 4^2 = 16$.

Получаем выражение: $16 + 8a + a^2 = (4+a)^2$.

Ответ: $16$

2) $16m^2 - 24mn + $ ___

Данное выражение соответствует формуле квадрата разности. Первый член в квадрате - это $16m^2$.

Пусть первый член двучлена равен $a = \sqrt{16m^2} = 4m$.

Удвоенное произведение первого члена на второй равно $24mn$. То есть, $2 \cdot a \cdot b = 2 \cdot (4m) \cdot b = 8mb = 24mn$.

Отсюда находим второй член $b = \frac{24mn}{8m} = 3n$.

Пропущенный член - это квадрат второго члена, то есть $b^2 = (3n)^2 = 9n^2$.

Получаем выражение: $16m^2 - 24mn + 9n^2 = (4m-3n)^2$.

Ответ: $9n^2$

3) $9x^2 + $ ___ $ + 4$

Это формула квадрата суммы. У нас есть квадраты двух членов: $9x^2$ и $4$.

Первый член двучлена $a = \sqrt{9x^2} = 3x$.

Второй член двучлена $b = \sqrt{4} = 2$.

Пропущенный член - это удвоенное произведение этих членов: $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot 2 = 12x$.

Получаем выражение: $9x^2 + 12x + 4 = (3x+2)^2$.

Ответ: $12x$

4) $1,21a^2b^4 + $ ___ $ + 0,36b^6$

Это формула квадрата суммы. У нас есть квадраты двух членов: $1,21a^2b^4$ и $0,36b^6$.

Первый член двучлена $x = \sqrt{1,21a^2b^4} = 1,1ab^2$.

Второй член двучлена $y = \sqrt{0,36b^6} = 0,6b^3$.

Пропущенный член - это удвоенное произведение этих членов: $2xy = 2 \cdot (1,1ab^2) \cdot (0,6b^3) = 1,32ab^5$.

Получаем выражение: $1,21a^2b^4 + 1,32ab^5 + 0,36b^6 = (1,1ab^2 + 0,6b^3)^2$.

Ответ: $1,32ab^5$

5) $a^4b^2 - 16a^3b^5 + $ ___

Это формула квадрата разности. Первый член в квадрате - $a^4b^2$.

Первый член двучлена $x = \sqrt{a^4b^2} = a^2b$.

Удвоенное произведение $2xy = 16a^3b^5$. То есть, $2 \cdot (a^2b) \cdot y = 16a^3b^5$.

Отсюда находим второй член $y = \frac{16a^3b^5}{2a^2b} = 8ab^4$.

Пропущенный член - это квадрат второго члена, $y^2 = (8ab^4)^2 = 64a^2b^8$.

Получаем выражение: $a^4b^2 - 16a^3b^5 + 64a^2b^8 = (a^2b - 8ab^4)^2$.

Ответ: $64a^2b^8$

6) ___ $ - a^7b^7 + \frac{25}{49}a^{10}b^8$

Это формула квадрата разности. Средний член (удвоенное произведение) равен $-a^7b^7$. Один из квадратов членов равен $\frac{25}{49}a^{10}b^8$.

Пусть $y^2 = \frac{25}{49}a^{10}b^8$. Тогда второй член двучлена $y = \sqrt{\frac{25}{49}a^{10}b^8} = \frac{5}{7}a^5b^4$.

Удвоенное произведение $2xy = a^7b^7$. Подставим $y$: $2 \cdot x \cdot (\frac{5}{7}a^5b^4) = a^7b^7$.

$\frac{10}{7}xa^5b^4 = a^7b^7$.

Находим $x$: $x = \frac{a^7b^7}{\frac{10}{7}a^5b^4} = \frac{7}{10}a^{7-5}b^{7-4} = \frac{7}{10}a^2b^3$.

Пропущенный член - это квадрат первого члена, $x^2 = (\frac{7}{10}a^2b^3)^2 = \frac{49}{100}a^4b^6$.

Получаем выражение: $\frac{49}{100}a^4b^6 - a^7b^7 + \frac{25}{49}a^{10}b^8 = (\frac{7}{10}a^2b^3 - \frac{5}{7}a^5b^4)^2$.

Ответ: $\frac{49}{100}a^4b^6$