Номер 10, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 10, страница 95.

Условие.

10. Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях $x$; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $x$:

1) $x^2 - 24x + 150;$

2) $49x^2 + 28x + 13;$

3) $x^2 - x + 2.$

Решение.

1) Выделим квадрат двучлена из данного трёхчлена:

$x^2 - 24x + 150=$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи для каждого выражения выделим полный квадрат. Это позволит нам найти наименьшее значение выражения и доказать, что оно всегда положительно.

1) $x^2 - 24x + 150$

Выделим квадрат двучлена, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$ (т.е. $a=x$), а $-24x$ соответствует $-2ab$. Отсюда $-2 \cdot x \cdot b = -24x$, что дает $b=12$. Тогда $b^2 = 12^2 = 144$.

Преобразуем выражение:

$x^2 - 24x + 150 = (x^2 - 24x + 144) - 144 + 150 = (x - 12)^2 + 6$.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(x - 12)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно $0$ и достигается при $x=12$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(x - 12)^2 + 6$ равно $0 + 6 = 6$.

Так как наименьшее значение выражения равно $6$, а $6 > 0$, то выражение принимает положительные значения при всех значениях $x$.

Ответ: наименьшее значение выражения равно $6$ при $x=12$. Поскольку наименьшее значение положительно, все значения выражения также положительны.

2) $49x^2 + 28x + 13$

Выделим полный квадрат, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим $49x^2$ как $(7x)^2$, тогда $a=7x$. Член $28x$ соответствует $2ab$. Отсюда $2 \cdot (7x) \cdot b = 28x$, что дает $b=2$. Тогда $b^2 = 2^2 = 4$.

Преобразуем выражение:

$49x^2 + 28x + 13 = ((7x)^2 + 28x + 4) - 4 + 13 = (7x + 2)^2 + 9$.

Выражение $(7x + 2)^2 \ge 0$ для любого значения $x$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается, когда $7x + 2 = 0$, то есть при $x = -2/7$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(7x + 2)^2 + 9$ равно $0 + 9 = 9$.

Так как $9 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения.

Ответ: наименьшее значение выражения равно $9$ при $x = -2/7$. Поскольку наименьшее значение положительно, все значения выражения также положительны.

3) $x^2 - x + 2$

Выделим полный квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$. Член $-x$ соответствует $-2ab$. Отсюда $-2 \cdot x \cdot b = -x$, что дает $b = 1/2$. Тогда $b^2 = (1/2)^2 = 1/4$.

Преобразуем выражение:

$x^2 - x + 2 = (x^2 - x + 1/4) - 1/4 + 2 = (x - 1/2)^2 + 7/4$.

Выражение $(x - 1/2)^2 \ge 0$ для любого значения $x$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается, когда $x - 1/2 = 0$, то есть при $x = 1/2$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(x - 1/2)^2 + 7/4$ равно $0 + 7/4 = 7/4$.

Так как $7/4 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения.

Ответ: наименьшее значение выражения равно $7/4$ (или $1.75$) при $x = 1/2$. Поскольку наименьшее значение положительно, все значения выражения также положительны.