Номер 13, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 13, страница 97.

Условие.

13. Найдите значение выражения:

1) $25a^2 - 10ab + b^2 - 10a + 2b$, если $a - 0,2b = 3;$

Решение.

Преобразуем данное выражение:

$25a^2 - 10ab + b^2 - 10a + 2b =$

Ответ:

2) $a^2 + b^2$, если $a - b = 5, ab = 4;$

Решение.

$a^2 + b^2 = (a - b)^2 +$

Ответ:

3) $a^4 + a^2b^2 + b^4$, если $a^2 + b^2 = 6, ab = 2.$

Решение.

$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 -$

Ответ:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $25a^2 - 10ab + b^2 - 10a + 2b$, если $a - 0,2b = 3$

Сгруппируем слагаемые в выражении, чтобы выделить полный квадрат и общий множитель:
$25a^2 - 10ab + b^2 - 10a + 2b = (25a^2 - 10ab + b^2) - (10a - 2b)$.
Первая группа является полным квадратом разности $(5a - b)^2$, так как $25a^2 = (5a)^2$ и $10ab = 2 \cdot 5a \cdot b$.
Из второй группы вынесем общий множитель $2$: $10a - 2b = 2(5a - b)$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$(5a - b)^2 - 2(5a - b)$.
Теперь преобразуем данное по условию равенство $a - 0,2b = 3$. Умножим обе его части на $5$:
$5 \cdot (a - 0,2b) = 5 \cdot 3$
$5a - b = 15$.
Подставим значение $5a - b = 15$ в преобразованное выражение:
$15^2 - 2 \cdot 15 = 225 - 30 = 195$.
Ответ: 195.

2) $a^2 + b^2$, если $a - b = 5, ab = 4$

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Из этой формулы выразим искомое $a^2 + b^2$:
$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$.
Теперь подставим известные значения $a - b = 5$ и $ab = 4$:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 2 \cdot 4 = 25 + 8 = 33$.
Ответ: 33.

3) $a^4 + a^2b^2 + b^4$, если $a^2 + b^2 = 6, ab = 2$

Чтобы преобразовать данное выражение, дополним его до полного квадрата суммы. Для этого прибавим и вычтем $a^2b^2$:
$a^4 + a^2b^2 + b^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2$.
Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат суммы $(a^2 + b^2)^2$. Выражение принимает вид:
$(a^2 + b^2)^2 - a^2b^2$.
Мы можем записать $a^2b^2$ как $(ab)^2$:
$(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$.
Подставим известные из условия значения $a^2 + b^2 = 6$ и $ab = 2$:
$6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$.
Ответ: 32.