Номер 4, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 18. Сумма и разность двух выражений - номер 4, страница 100.

Условие.

4. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = $

2) $(3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2) = $

3) $(a + bc)(a^2 - abc + b^2c^2) = $

4) $(4 - a^3)(16 + 4a^3 + a^6) = $

5) $(\frac{1}{7}b^4 + \frac{7}{9}c^2)(\frac{1}{49}b^8 - \frac{1}{9}b^4c^2 + \frac{49}{81}c^4) = $

6) $(\frac{1}{5}x^2 - 6y^5)(\frac{1}{25}x^4 + 1,2x^2y^5 + 36y^{10}) = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Все представленные выражения можно упростить, используя формулы сокращенного умножения, а именно формулы суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

Данное выражение соответствует формуле суммы кубов, где $a = x$ и $b = 2y$.
Первый множитель — это $(a+b) = (x+2y)$.
Второй множитель — это неполный квадрат разности: $(a^2 - ab + b^2) = (x^2 - x \cdot 2y + (2y)^2) = (x^2 - 2xy + 4y^2)$.
Применяя формулу, получаем:
$x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$.
Ответ: $x^3 + 8y^3$

2) $(3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов, где $a = 3a$ и $b = b$.
Первый множитель — это $(a-b) = (3a-b)$.
Второй множитель — это неполный квадрат суммы: $(a^2 + ab + b^2) = ((3a)^2 + 3a \cdot b + b^2) = (9a^2 + 3ab + b^2)$.
Применяя формулу, получаем:
$(3a)^3 - b^3 = 27a^3 - b^3$.
Ответ: $27a^3 - b^3$

3) $(a + bc)(a^2 - abc + b^2c^2)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов, где первый член — $a$, а второй — $bc$.
$(a + bc)(a^2 - a(bc) + (bc)^2) = a^3 + (bc)^3$.
Упрощаем выражение:
$a^3 + (bc)^3 = a^3 + b^3c^3$.
Ответ: $a^3 + b^3c^3$

4) $(4 - a^3)(16 + 4a^3 + a^6)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов, где первый член — $4$, а второй — $a^3$.
$(4 - a^3)(4^2 + 4 \cdot a^3 + (a^3)^2) = 4^3 - (a^3)^3$.
Упрощаем выражение:
$4^3 - (a^3)^3 = 64 - a^9$.
Ответ: $64 - a^9$

5) $(\frac{1}{7}b^4 + \frac{7}{9}c^2)(\frac{1}{49}b^8 - \frac{1}{9}b^4c^2 + \frac{49}{81}c^4)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов, где $a = \frac{1}{7}b^4$ и $b = \frac{7}{9}c^2$.
Проверим второй множитель:
$a^2 = (\frac{1}{7}b^4)^2 = \frac{1}{49}b^8$
$ab = (\frac{1}{7}b^4)(\frac{7}{9}c^2) = \frac{7}{63}b^4c^2 = \frac{1}{9}b^4c^2$
$b^2 = (\frac{7}{9}c^2)^2 = \frac{49}{81}c^4$
Выражение полностью соответствует формуле $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Применяем формулу:
$(\frac{1}{7}b^4)^3 + (\frac{7}{9}c^2)^3 = \frac{1}{343}b^{12} + \frac{343}{729}c^6$.
Ответ: $\frac{1}{343}b^{12} + \frac{343}{729}c^6$

6) $(\frac{1}{5}x^2 - 6y^5)(\frac{1}{25}x^4 + 1,2x^2y^5 + 36y^{10})$

Это выражение соответствует формуле разности кубов. Преобразуем десятичную дробь $1,2$ в обыкновенную: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Тогда выражение принимает вид: $(\frac{1}{5}x^2 - 6y^5)(\frac{1}{25}x^4 + \frac{6}{5}x^2y^5 + 36y^{10})$.
Здесь $a = \frac{1}{5}x^2$ и $b = 6y^5$.
Проверим второй множитель:
$a^2 = (\frac{1}{5}x^2)^2 = \frac{1}{25}x^4$
$ab = (\frac{1}{5}x^2)(6y^5) = \frac{6}{5}x^2y^5$
$b^2 = (6y^5)^2 = 36y^{10}$
Выражение полностью соответствует формуле $(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Применяем формулу:
$(\frac{1}{5}x^2)^3 - (6y^5)^3 = \frac{1}{125}x^6 - 216y^{15}$.
Ответ: $\frac{1}{125}x^6 - 216y^{15}$