Номер 7, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Сумма и разность двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 7, страница 101.

Условие.

7. Упростите выражение:

1) $(x - 1)(x^2 + x + 1) + (3 - x)(9 + 3x + x^2) = $

2) $(x - 6)(x^2 + 6x + 36) - x (x - 4)(x + 4) = $

3) $a (a - 20)^2 - (a + 10)(a^2 - 10a + 100) = $

4) $(a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^4 - 2a^2 + 4)(a^4 + 2a^2 + 4) = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x - 1)(x^2 + x + 1) + (3 - x)(9 + 3x + x^2)$

Для упрощения данного выражения мы будем использовать формулы сокращенного умножения.

Первая часть выражения, $(x - 1)(x^2 + x + 1)$, представляет собой формулу разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае $a = x$ и $b = 1$, поэтому произведение равно $x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Вторая часть выражения, $(3 - x)(9 + 3x + x^2)$, также является разностью кубов. Если мы перепишем второй множитель как $(3^2 + 3 \cdot x + x^2)$, то увидим, что здесь $a = 3$ и $b = x$. Таким образом, это произведение равно $3^3 - x^3 = 27 - x^3$.

Теперь сложим результаты упрощения обеих частей:

$(x^3 - 1) + (27 - x^3) = x^3 - 1 + 27 - x^3$

Члены $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$-1 + 27 = 26$

Ответ: $26$.

2) $(x - 6)(x^2 + 6x + 36) - x(x - 4)(x + 4)$

Рассмотрим каждую часть выражения отдельно.

Первая часть, $(x - 6)(x^2 + 6x + 36)$, является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Здесь $a = x$ и $b = 6$. Следовательно, $(x - 6)(x^2 + 6x + 36) = x^3 - 6^3 = x^3 - 216$.

Вторая часть, $-x(x - 4)(x + 4)$, содержит произведение $(x - 4)(x + 4)$, которое является формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = x$ и $b = 4$, поэтому $(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Теперь умножим результат на $-x$: $-x(x^2 - 16) = -x \cdot x^2 - x \cdot (-16) = -x^3 + 16x$.

Объединим обе упрощенные части:

$(x^3 - 216) + (-x^3 + 16x) = x^3 - 216 - x^3 + 16x$

Члены $x^3$ и $-x^3$ сокращаются. В результате получаем:

$16x - 216$

Ответ: $16x - 216$.

3) $a(a - 20)^2 - (a + 10)(a^2 - 10a + 100)$

Упростим каждую часть выражения по очереди.

Первая часть: $a(a - 20)^2$. Сначала раскроем квадрат разности: $(a - 20)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 20 + 20^2 = a^2 - 40a + 400$. Затем умножим на $a$: $a(a^2 - 40a + 400) = a^3 - 40a^2 + 400a$.

Вторая часть: $-(a + 10)(a^2 - 10a + 100)$. Выражение в скобках является формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В данном случае $a$ совпадает с переменной $a$, а $b = 10$. Таким образом, $(a + 10)(a^2 - 10a + 100) = a^3 + 10^3 = a^3 + 1000$. Учитывая знак минус перед скобками, получаем $-(a^3 + 1000) = -a^3 - 1000$.

Теперь объединим результаты:

$(a^3 - 40a^2 + 400a) + (-a^3 - 1000) = a^3 - 40a^2 + 400a - a^3 - 1000$

Сокращаем $a^3$ и $-a^3$:

$-40a^2 + 400a - 1000$

Ответ: $-40a^2 + 400a - 1000$.

4) $(a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^4 - 2a^2 + 4)(a^4 + 2a^2 + 4)$

Для упрощения этого выражения сгруппируем множители наиболее удобным образом, чтобы применить формулы сокращенного умножения.

Сгруппируем первый множитель с четвертым, а второй с третьим:

$[(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)] \cdot [(a^2 + 2)(a^4 - 2a^2 + 4)]$

Первая группа $[(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)]$ является формулой разности кубов. Если принять $x = a^2$ и $y = 2$, то выражение примет вид $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$. Подставив обратно, получаем: $(a^2)^3 - 2^3 = a^6 - 8$.

Вторая группа $[(a^2 + 2)(a^4 - 2a^2 + 4)]$ является формулой суммы кубов. Если принять $x = a^2$ и $y = 2$, то выражение примет вид $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$. Подставив обратно, получаем: $(a^2)^3 + 2^3 = a^6 + 8$.

Теперь перемножим результаты, полученные для каждой группы:

$(a^6 - 8)(a^6 + 8)$

Это выражение является формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = a^6$ и $y = 8$.

$(a^6)^2 - 8^2 = a^{12} - 64$

Ответ: $a^{12} - 64$.