Номер 2, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 2, страница 104.

Условие.

2. Разложите на множители:

1) $7mn + 21m - 7n - 21 = 7(mn + 3m - n - 3) = 7(m(n + 3) - (n + 3)) = $

2) $a^3 - 6a^2 - 4a + 24 = $

3) $abc - 9ab + 5ac - 45a = $

4) $8m^2 - 8n^2 - 56m^3n + 56mn^3 = $

5) $xy^5 + y^5 - xy^4 - y^4 = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $7mn + 21m - 7n - 21$

В данном выражении все коэффициенты делятся на 7. Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7mn + 21m - 7n - 21 = 7(mn + 3m - n - 3)$

Теперь применим метод группировки к выражению в скобках. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$7((mn + 3m) + (-n - 3)) = 7((mn + 3m) - (n + 3))$

Вынесем общий множитель из каждой группы: $m$ из первой группы и $-1$ из второй.

$7(m(n + 3) - 1(n + 3))$

Теперь мы видим общий множитель $(n + 3)$, который тоже можно вынести за скобки:

$7(n + 3)(m - 1)$

Ответ: $7(n + 3)(m - 1)$

2) $a^3 - 6a^2 - 4a + 24$

Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(a^3 - 6a^2) + (-4a + 24)$

Вынесем общий множитель из каждой группы: $a^2$ из первой и $-4$ из второй. Обратите внимание, что при вынесении $-4$ из второй группы, знаки внутри скобок меняются на противоположные.

$a^2(a - 6) - 4(a - 6)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 6)$ за скобки:

$(a - 6)(a^2 - 4)$

Выражение $(a^2 - 4)$ является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$(a - 6)(a - 2)(a + 2)$

Ответ: $(a - 6)(a - 2)(a + 2)$

3) $abc - 9ab + 5ac - 45a$

Заметим, что все члены многочлена содержат множитель $a$. Вынесем его за скобки:

$a(bc - 9b + 5c - 45)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$a((bc - 9b) + (5c - 45))$

Вынесем общие множители из каждой группы: $b$ из первой и $5$ из второй.

$a(b(c - 9) + 5(c - 9))$

Вынесем общий множитель $(c - 9)$ за скобки:

$a(c - 9)(b + 5)$

Ответ: $a(c - 9)(b + 5)$

4) $8m^2 - 8n^2 - 56m^3n + 56mn^3$

Все коэффициенты делятся на 8. Вынесем 8 за скобки:

$8(m^2 - n^2 - 7m^3n + 7mn^3)$

Перегруппируем слагаемые в скобках для удобства: первое с третьим и второе с четвертым.

$8((m^2 - 7m^3n) + (-n^2 + 7mn^3))$

Вынесем общие множители из каждой группы: $m^2$ из первой и $-n^2$ из второй.

$8(m^2(1 - 7mn) - n^2(1 - 7mn))$

Теперь вынесем общий множитель $(1 - 7mn)$ за скобки:

$8(1 - 7mn)(m^2 - n^2)$

Выражение $(m^2 - n^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле:

$8(1 - 7mn)(m - n)(m + n)$

Ответ: $8(1 - 7mn)(m - n)(m + n)$

5) $xy^5 + y^5 - xy^4 - y^4$

Все члены многочлена содержат множитель $y^4$. Вынесем его за скобки:

$y^4(xy + y - x - 1)$

Сгруппируем слагаемые в скобках: первое со вторым и третье с четвертым.

$y^4((xy + y) + (-x - 1)) = y^4((xy + y) - (x + 1))$

Вынесем общие множители из каждой группы: $y$ из первой и $-1$ из второй.

$y^4(y(x + 1) - 1(x + 1))$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$y^4(x + 1)(y - 1)$

Ответ: $y^4(x + 1)(y - 1)$