Номер 3, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 3, страница 104.

Условие.

3. Представьте в виде произведения выражения:

1) $a^2 - 6a + 9 - b^2 = (a - 3)^2 - b^2 = $

2) $36 - a^2 + 2ac - c^2 = 36 - (a^2 - 2ac + c^2) = $

3) $(x^2 + 16)^2 - 64x^2 = $

4) $121 - 81x^2 - 90xy^2 - 25y^4 = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Исходное выражение: $a^2 - 6a + 9 - b^2$.
Сначала сгруппируем первые три слагаемых. Заметим, что выражение $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$ и $y=3$, поэтому $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$.
Теперь исходное выражение можно записать в виде: $(a - 3)^2 - b^2$.
Это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.
Здесь $X = a - 3$ и $Y = b$.
Подставляя в формулу, получаем: $((a - 3) - b)((a - 3) + b)$.
Раскрыв внутренние скобки, получаем итоговое произведение: $(a - b - 3)(a + b - 3)$.
Ответ: $(a - b - 3)(a + b - 3)$.

2) Исходное выражение: $36 - a^2 + 2ac - c^2$.
Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых: $36 - (a^2 - 2ac + c^2)$.
Выражение в скобках, $a^2 - 2ac + c^2$, является полным квадратом разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=c$.
Таким образом, $a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2$.
Исходное выражение преобразуется к виду: $36 - (a - c)^2$.
Представим число 36 как квадрат числа 6, то есть $6^2$. Получим: $6^2 - (a - c)^2$.
Это разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X=6$ и $Y = a - c$.
Применяем формулу разности квадратов $(X - Y)(X + Y)$: $(6 - (a - c))(6 + (a - c))$.
Раскрываем внутренние скобки и получаем произведение: $(6 - a + c)(6 + a - c)$.
Ответ: $(6 - a + c)(6 + a - c)$.

3) Исходное выражение: $(x^2 + 16)^2 - 64x^2$.
Представим второе слагаемое $64x^2$ в виде квадрата: $64x^2 = (8x)^2$.
Теперь выражение имеет вид разности квадратов: $(x^2 + 16)^2 - (8x)^2$.
Применяем формулу $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$, где $X = x^2 + 16$ и $Y = 8x$.
Получаем: $((x^2 + 16) - 8x)((x^2 + 16) + 8x)$.
Перегруппируем слагаемые внутри скобок для получения стандартного вида многочленов: $(x^2 - 8x + 16)(x^2 + 8x + 16)$.
Заметим, что каждое из выражений в скобках является полным квадратом.
Первая скобка: $x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$.
Вторая скобка: $x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2$.
Таким образом, итоговое произведение имеет вид: $(x - 4)^2(x + 4)^2$.
Ответ: $(x - 4)^2(x + 4)^2$.

4) Исходное выражение: $121 - 81x^2 - 90xy^2 - 25y^4$.
Сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки общий множитель -1: $121 - (81x^2 + 90xy^2 + 25y^4)$.
Рассмотрим выражение в скобках: $81x^2 + 90xy^2 + 25y^4$. Это полный квадрат суммы, так как соответствует формуле $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$. $A^2 = 81x^2$, следовательно $A = 9x$.
$B^2 = 25y^4$, следовательно $B = 5y^2$.
Проверим, соответствует ли удвоенное произведение $2AB$ среднему члену: $2 \cdot (9x) \cdot (5y^2) = 90xy^2$. Соответствует.
Значит, $81x^2 + 90xy^2 + 25y^4 = (9x + 5y^2)^2$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $121 - (9x + 5y^2)^2$.
Представим 121 как $11^2$: $11^2 - (9x + 5y^2)^2$.
Это разность квадратов $X^2 - Y^2$, где $X=11$ и $Y = 9x + 5y^2$.
Применяем формулу $(X - Y)(X + Y)$: $(11 - (9x + 5y^2))(11 + (9x + 5y^2))$.
Раскрыв внутренние скобки, получаем ответ: $(11 - 9x - 5y^2)(11 + 9x + 5y^2)$.
Ответ: $(11 - 9x - 5y^2)(11 + 9x + 5y^2)$.