Номер 10, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 10, страница 108.

Условие.

10. Разложите на множители:

1) $a^4 + 64;$

2) $a^4 + 324.$

Решение.

1) $a^4 + 64 = a^4 + 16a^2 + 64 - 16a^2 = (\quad + \quad)^2 - (\quad)^2 =$

$=$

2) $a^4 + 324 =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) a⁴ + 64;
Для разложения данного выражения на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод заключается в добавлении и вычитании такого слагаемого, которое дополнит часть выражения до полного квадрата.
Представим исходное выражение в виде суммы квадратов:
$a^4 + 64 = (a^2)^2 + 8^2$
Чтобы получить полный квадрат суммы, нам не хватает удвоенного произведения оснований этих квадратов, то есть $2 \cdot a^2 \cdot 8 = 16a^2$. Добавим и вычтем этот член:
$a^4 + 64 = a^4 + 16a^2 + 64 - 16a^2$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:
$(a^4 + 16a^2 + 64) - 16a^2 = (a^2 + 8)^2 - 16a^2$
Мы получили разность квадратов, так как $16a^2 = (4a)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a^2 + 8)^2 - (4a)^2 = (a^2 + 8 - 4a)(a^2 + 8 + 4a)$
Для удобства записи переставим слагаемые в скобках в стандартном порядке:
$(a^2 - 4a + 8)(a^2 + 4a + 8)$
Ответ: $(a^2 - 4a + 8)(a^2 + 4a + 8)$

2) a⁴ + 324;
Применим тот же метод, что и в первом пункте. Сначала представим слагаемые в виде квадратов:
$a^4 + 324 = (a^2)^2 + 18^2$
Для получения полного квадрата нам необходимо удвоенное произведение $2 \cdot a^2 \cdot 18 = 36a^2$. Добавим и вычтем это выражение:
$a^4 + 324 = a^4 + 36a^2 + 324 - 36a^2$
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:
$(a^4 + 36a^2 + 324) - 36a^2 = (a^2 + 18)^2 - 36a^2$
Полученное выражение является разностью квадратов, так как $36a^2 = (6a)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a^2 + 18)^2 - (6a)^2 = (a^2 + 18 - 6a)(a^2 + 18 + 6a)$
Запишем многочлены в стандартном виде:
$(a^2 - 6a + 18)(a^2 + 6a + 18)$
Ответ: $(a^2 - 6a + 18)(a^2 + 6a + 18)$