Номер 12, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский


Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: рабочая тетрадь
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2025
Часть: 1, 2
Цвет обложки: синий с папками
ISBN: 978-5-360-09144-8(ч. 1), 978-5-360-09145-5(ч. 2)
Популярные ГДЗ в 7 классе
Параграф 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 12, страница 109.
№12 (с. 109)
Условие. №12 (с. 109)
скриншот условия

12. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3 + 5n$ кратно 6.
Решение.
Имеем: $n^3 + 5n = (n^3 - n) + 6n = $
Решение 1. №12 (с. 109)

Решение 2. №12 (с. 109)

Решение 3. №12 (с. 109)

Решение 4. №12 (с. 109)

Решение 5. №12 (с. 109)
Чтобы доказать, что значение выражения $n^3 + 5n$ кратно 6 при любом натуральном $n$, преобразуем его. Для этого прибавим и вычтем $n$, что не изменит значение выражения:
$n^3 + 5n = n^3 - n + n + 5n = (n^3 - n) + 6n$
Теперь рассмотрим получившуюся сумму. Она состоит из двух слагаемых: $(n^3 - n)$ и $6n$. Докажем, что каждое из них делится на 6.
1. Рассмотрим слагаемое $6n$. Оно очевидно делится на 6 без остатка при любом натуральном $n$, так как содержит множитель 6.
2. Рассмотрим слагаемое $(n^3 - n)$. Разложим его на множители. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n^3 - n = n(n^2 - 1)$
Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$
Переставив множители, получим произведение трех последовательных натуральных чисел: $(n-1)n(n+1)$.
Чтобы доказать, что это произведение делится на 6, нужно показать, что оно делится на 2 и на 3 одновременно (поскольку $6=2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 взаимно простые).
- Делимость на 2: Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является четным. В нашем произведении $(n-1)n(n+1)$ есть три последовательных числа, а значит, как минимум одно из них четное. Следовательно, все произведение делится на 2.
- Делимость на 3: Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 3.
Поскольку выражение $(n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.
Таким образом, мы представили исходное выражение $n^3 + 5n$ в виде суммы $(n^3-n) + 6n$. Оба слагаемых в этой сумме делятся на 6. Сумма двух выражений, каждое из которых кратно 6, также кратна 6.
Следовательно, мы доказали, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3 + 5n$ кратно 6.
Ответ: Утверждение доказано, так как выражение $n^3 + 5n$ можно представить в виде суммы $(n-1)n(n+1) + 6n$, где каждое слагаемое делится на 6 при любом натуральном $n$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 12 расположенного на странице 109 к рабочей тетради 2018 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12 (с. 109), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.