Номер 12, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 12, страница 109.

Условие.

12. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3 + 5n$ кратно 6.

Решение.

Имеем: $n^3 + 5n = (n^3 - n) + 6n = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения $n^3 + 5n$ кратно 6 при любом натуральном $n$, преобразуем его. Для этого прибавим и вычтем $n$, что не изменит значение выражения:

$n^3 + 5n = n^3 - n + n + 5n = (n^3 - n) + 6n$

Теперь рассмотрим получившуюся сумму. Она состоит из двух слагаемых: $(n^3 - n)$ и $6n$. Докажем, что каждое из них делится на 6.

1. Рассмотрим слагаемое $6n$. Оно очевидно делится на 6 без остатка при любом натуральном $n$, так как содержит множитель 6.

2. Рассмотрим слагаемое $(n^3 - n)$. Разложим его на множители. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Переставив множители, получим произведение трех последовательных натуральных чисел: $(n-1)n(n+1)$.

Чтобы доказать, что это произведение делится на 6, нужно показать, что оно делится на 2 и на 3 одновременно (поскольку $6=2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 взаимно простые).

• Делимость на 2: Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является четным. В нашем произведении $(n-1)n(n+1)$ есть три последовательных числа, а значит, как минимум одно из них четное. Следовательно, все произведение делится на 2.
• Делимость на 3: Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 3.

Поскольку выражение $(n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.

Таким образом, мы представили исходное выражение $n^3 + 5n$ в виде суммы $(n^3-n) + 6n$. Оба слагаемых в этой сумме делятся на 6. Сумма двух выражений, каждое из которых кратно 6, также кратна 6.

Следовательно, мы доказали, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3 + 5n$ кратно 6.

Ответ: Утверждение доказано, так как выражение $n^3 + 5n$ можно представить в виде суммы $(n-1)n(n+1) + 6n$, где каждое слагаемое делится на 6 при любом натуральном $n$.