Номер 1, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 1, страница 104.

Условие.

1. Разложите на множители:

1) $7a^2 - 7b^2 = 7(\text{__________}) = \text{__________}$

2) $3y^2 - 27y = \text{__________}$

3) $m^5 - m^3 = \text{__________}$

4) $\frac{49}{64}x^2y^3z^6 - 0.04yz^8 = \text{__________}$

5) $9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2 = b^2(\text{__________}) = \text{__________}$

6) $-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2 = \text{__________}$

7) $4b^2c - 20abc + 25a^2c = \text{__________}$

8) $16x - 2x^4 = 2x(\text{__________}) = \text{__________}$

9) $3a^5 + 375a^2 = \text{__________}$

10) $a^4 - 10000 = \text{__________}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) В выражении $7a^2 - 7b^2$ вынесем за скобки общий множитель $7$. Получим $7(a^2 - b^2)$. Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Таким образом, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Окончательное разложение на множители: $7(a - b)(a + b)$.

Ответ: $7(a - b)(a + b)$

2) В выражении $3y^2 - 27y$ найдем наибольший общий делитель. Для коэффициентов $3$ и $27$ это $3$, а для переменных $y^2$ и $y$ это $y$. Общий множитель — $3y$. Вынесем его за скобки: $3y(y) - 3y(9) = 3y(y - 9)$.

Ответ: $3y(y - 9)$

3) В выражении $m^5 - m^3$ вынесем за скобки общий множитель $m^3$. Получим $m^3(m^2 - 1)$. Выражение в скобках $m^2 - 1$ является разностью квадратов ($m^2 - 1^2$), которую разложим по формуле: $(m - 1)(m + 1)$. Окончательный вид: $m^3(m - 1)(m + 1)$.

Ответ: $m^3(m - 1)(m + 1)$

4) В выражении $\frac{49}{64}x^2y^3z^6 - 0,04yz^8$ сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$. Затем вынесем за скобки общий множитель $yz^6$. Получим $yz^6(\frac{49}{64}x^2y^2 - \frac{1}{25}z^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов: $(\frac{7}{8}xy)^2 - (\frac{1}{5}z)^2$. Применяя формулу разности квадратов, получаем $yz^6(\frac{7}{8}xy - \frac{1}{5}z)(\frac{7}{8}xy + \frac{1}{5}z)$.

Ответ: $yz^6(\frac{7}{8}xy - \frac{1}{5}z)(\frac{7}{8}xy + \frac{1}{5}z)$

5) В выражении $9a^2b^2 - 6ab^2 + b^2$ вынесем за скобки общий множитель $b^2$. Получим $b^2(9a^2 - 6a + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x = 3a$ и $y = 1$. Проверяем средний член: $2 \cdot 3a \cdot 1 = 6a$. Таким образом, $9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$. Окончательный вид: $b^2(3a - 1)^2$.

Ответ: $b^2(3a - 1)^2$

6) В выражении $-3m^3 + 6m^2n - 3mn^2$ вынесем за скобки общий множитель $-3m$. Получим $-3m(m^2 - 2mn + n^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(m - n)^2$. Окончательное разложение: $-3m(m - n)^2$.

Ответ: $-3m(m - n)^2$

7) В выражении $4b^2c - 20abc + 25a^2c$ вынесем за скобки общий множитель $c$. Получим $c(4b^2 - 20ab + 25a^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x = 2b$ и $y = 5a$. Проверяем средний член: $2 \cdot 2b \cdot 5a = 20ab$. Таким образом, $4b^2 - 20ab + 25a^2 = (2b - 5a)^2$. Окончательный вид: $c(2b - 5a)^2$.

Ответ: $c(2b - 5a)^2$

8) В выражении $16x - 2x^4$ вынесем за скобки общий множитель $2x$. Получим $2x(8 - x^3)$. Выражение в скобках является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае $a = 2$ и $b = x$. Таким образом, $8 - x^3 = 2^3 - x^3 = (2 - x)(2^2 + 2x + x^2) = (2 - x)(4 + 2x + x^2)$. Окончательное разложение: $2x(2 - x)(4 + 2x + x^2)$.

Ответ: $2x(2 - x)(4 + 2x + x^2)$

9) В выражении $3a^5 + 375a^2$ вынесем за скобки общий множитель $3a^2$. Получим $3a^2(a^3 + 125)$. Выражение в скобках является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x = a$ и $y = 5$. Таким образом, $a^3 + 125 = a^3 + 5^3 = (a + 5)(a^2 - 5a + 5^2) = (a + 5)(a^2 - 5a + 25)$. Окончательное разложение: $3a^2(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$.

Ответ: $3a^2(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$

10) Выражение $a^4 - 10000$ является разностью квадратов, так как его можно представить в виде $(a^2)^2 - (100)^2$. Применяя формулу разности квадратов, получаем $(a^2 - 100)(a^2 + 100)$. Первый множитель $a^2 - 100$ также является разностью квадратов ($a^2 - 10^2$), которую можно разложить на $(a - 10)(a + 10)$. Второй множитель $a^2 + 100$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители в поле действительных чисел. Окончательное разложение: $(a - 10)(a + 10)(a^2 + 100)$.

Ответ: $(a - 10)(a + 10)(a^2 + 100)$