Номер 15, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 15. Разность квадратов двух выражений - номер 15, страница 81.

Условие.

15. Остаток при делении на 9 натурального числа m равен 7, а натурального числа n — 2. Докажите, что разность квадратов чисел m и n делится нацело на 9.

Решение.

Пусть неполное частное при делении числа m на 9 равно x.

Тогда $m = 9x + 7$

Пусть неполное частное при делении числа n на 9 равно y.

Тогда $n = 9y + 2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи, остаток при делении натурального числа $m$ на 9 равен 7. Это означает, что число $m$ можно представить в виде равенства:

$m = 9k + 7$

где $k$ — это неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом.

Аналогично, остаток при делении натурального числа $n$ на 9 равен 2. Это означает, что число $n$ можно представить в виде равенства:

$n = 9q + 2$

где $q$ — это неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом.

Требуется доказать, что разность квадратов чисел $m$ и $n$, то есть выражение $m^2 - n^2$, делится нацело на 9.

Для доказательства воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Применительно к нашим числам:

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Теперь подставим выражения для $m$ и $n$ в каждый из множителей в правой части равенства.

Найдем значение первого множителя $(m - n)$:

$m - n = (9k + 7) - (9q + 2) = 9k + 7 - 9q - 2 = 9k - 9q + 5 = 9(k - q) + 5$

Найдем значение второго множителя $(m + n)$:

$m + n = (9k + 7) + (9q + 2) = 9k + 9q + 7 + 2 = 9k + 9q + 9 = 9(k + q + 1)$

Теперь перемножим полученные выражения для множителей:

$m^2 - n^2 = (9(k - q) + 5) \cdot 9(k + q + 1)$

Рассмотрим полученное произведение. Один из его сомножителей, а именно $9(k + q + 1)$, очевидно делится нацело на 9, поскольку он содержит множитель 9 (при этом $k$, $q$ являются целыми числами, значит и выражение в скобках $k + q + 1$ — целое число).

Согласно свойству делимости, если один из множителей в произведении делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число. В нашем случае, так как множитель $9(k + q + 1)$ делится на 9, то и вся разность квадратов $m^2 - n^2$ делится на 9.

Таким образом, мы доказали, что $m^2 - n^2$ делится нацело на 9.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку разность квадратов $m^2-n^2$ может быть представлена в виде произведения $(9(k - q) + 5) \cdot 9(k + q + 1)$, в котором один из множителей делится на 9, то и все произведение делится нацело на 9.