Номер 8, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 15. Разность квадратов двух выражений - номер 8, страница 77.

Условие.

8. Решите уравнение:

1) $(7x - 1)^2 - 36 = 0;$

Решение.

Имеем:

$(7x - 1 - \quad)(7x - 1 + \quad) = 0;$

Ответ:

2) $(5x + 2)^2 - 16x^2 = 0;$

3) $(3y - 1)^2 - (y + 3)^2 = 0;$

Решение.

Ответ:

4) $64(4y + 1)^2 - (12y - 5)^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(7x - 1)^2 - 36 = 0$

Данное уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 7x - 1$, а $b^2 = 36$, следовательно, $b = 6$.

Подставим значения в формулу:

$((7x - 1) - 6)((7x - 1) + 6) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(7x - 7)(7x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $7x - 7 = 0$

$7x = 7$

$x_1 = 1$

2. $7x + 5 = 0$

$7x = -5$

$x_2 = -\frac{5}{7}$

Ответ: $1; -\frac{5}{7}$

2) $(5x + 2)^2 - 16x^2 = 0$

Представим уравнение в виде разности квадратов. Заметим, что $16x^2 = (4x)^2$.

Тогда уравнение принимает вид:

$(5x + 2)^2 - (4x)^2 = 0$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5x + 2$ и $b = 4x$.

$((5x + 2) - 4x)((5x + 2) + 4x) = 0$

Упрощаем выражения в скобках:

$(x + 2)(9x + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $x + 2 = 0$

$x_1 = -2$

2. $9x + 2 = 0$

$9x = -2$

$x_2 = -\frac{2}{9}$

Ответ: $-2; -\frac{2}{9}$

3) $(3y - 1)^2 - (y + 3)^2 = 0$

Это уравнение также является разностью квадратов, где $a = 3y - 1$ и $b = y + 3$.

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((3y - 1) - (y + 3))((3y - 1) + (y + 3)) = 0$

Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:

$(3y - 1 - y - 3)(3y - 1 + y + 3) = 0$

$(2y - 4)(4y + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $2y - 4 = 0$

$2y = 4$

$y_1 = 2$

2. $4y + 2 = 0$

$4y = -2$

$y_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $2; -\frac{1}{2}$

4) $64(4y + 1)^2 - (12y - 5)^2 = 0$

Сначала представим первый член в виде квадрата одного выражения: $64(4y + 1)^2 = (8(4y + 1))^2 = (32y + 8)^2$.

Теперь уравнение имеет вид разности квадратов:

$(32y + 8)^2 - (12y - 5)^2 = 0$

Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 32y + 8$ и $b = 12y - 5$.

$((32y + 8) - (12y - 5))((32y + 8) + (12y - 5)) = 0$

Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:

$(32y + 8 - 12y + 5)(32y + 8 + 12y - 5) = 0$

$(20y + 13)(44y + 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $20y + 13 = 0$

$20y = -13$

$y_1 = -\frac{13}{20}$

2. $44y + 3 = 0$

$44y = -3$

$y_2 = -\frac{3}{44}$

Ответ: $-\frac{13}{20}; -\frac{3}{44}$