Номер 13, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 15. Разность квадратов двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 13, страница 81.

Условие.

13. Докажите, что квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится нацело на 8.

Решение.

Пусть данное число равно $2n - 1$, где $n$ — произвольное натуральное число. Разложим на множители выражение $(2n - 1)^2 - 1$:

$(2n - 1)^2 - 1=$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Пусть дано произвольное нечётное число. Любое нечётное число можно представить в виде $2n - 1$, где $n$ — произвольное натуральное число (то есть $n = 1, 2, 3, \ldots$).

Нам необходимо доказать, что квадрат этого числа, уменьшенный на единицу, то есть выражение $(2n - 1)^2 - 1$, делится нацело на 8.

Преобразуем данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(2n - 1)^2 - 1 = (2n - 1)^2 - 1^2 = ((2n - 1) - 1)((2n - 1) + 1)$

Упростим выражение в каждой из скобок:

$(2n - 2)(2n)$

Теперь вынесем общий множитель 2 из первой скобки:

$2(n - 1) \cdot 2n = 4n(n - 1)$

Рассмотрим полученное произведение $4n(n - 1)$. Множитель $n(n - 1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел: $n - 1$ и $n$. В любой паре последовательных чисел одно из них обязательно чётное. Следовательно, их произведение $n(n - 1)$ всегда делится на 2.

Это означает, что произведение $n(n - 1)$ можно представить в виде $2k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это в наше выражение:

$4n(n - 1) = 4 \cdot (2k) = 8k$

Полученное выражение $8k$ при любом целом $k$ делится нацело на 8. Таким образом, мы доказали, что квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится нацело на 8. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Квадрат нечётного числа $(2n-1)$, уменьшенный на единицу, равен $(2n-1)^2-1 = 4n(n-1)$. Поскольку $n(n-1)$ — это произведение двух последовательных чисел, оно всегда чётно, то есть $n(n-1)=2k$ для некоторого целого $k$. Отсюда $(2n-1)^2-1=4(2k)=8k$, что без остатка делится на 8.