Номер 14, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский


Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: рабочая тетрадь
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2025
Часть: 1, 2
Цвет обложки: синий с папками
ISBN: 978-5-360-09144-8(ч. 1), 978-5-360-09145-5(ч. 2)
Популярные ГДЗ в 7 классе
Параграф 15. Разность квадратов двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 14, страница 81.
№14 (с. 81)
Условие. №14 (с. 81)
скриншот условия

14. Докажите, что разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, делится нацело на 99.
Решение.
Пусть одно из этих чисел равно $10a + b$, где $a$ и $b$ — однозначные натуральные числа. Тогда другое число равно
Решение 1. №14 (с. 81)

Решение 2. №14 (с. 81)

Решение 3. №14 (с. 81)

Решение 4. №14 (с. 81)

Решение 5. №14 (с. 81)
Решение.
Пусть даны два двузначных числа, записанных одними и теми же цифрами. Обозначим цифру десятков первого числа как $a$, а цифру единиц как $b$. Тогда первое число $N_1$ можно представить в виде $N_1 = 10a + b$.
Второе число $N_2$, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $N_2 = 10b + a$.
По условию, оба числа являются двузначными. Это накладывает ограничения на цифры $a$ и $b$. Цифра десятков не может быть нулем. Следовательно, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{1, 2, ..., 9\}$. Если бы одна из цифр была равна нулю, то одно из чисел стало бы однозначным (например, если $b=0$, то $N_2 = a$). Также, чтобы числа были разными, необходимо условие $a \neq b$.
Нам необходимо доказать, что разность их квадратов, то есть $N_1^2 - N_2^2$, делится нацело на 99.
Запишем это выражение:
$N_1^2 - N_2^2 = (10a + b)^2 - (10b + a)^2$.
Для упрощения воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = ((10a + b) - (10b + a)) \cdot ((10a + b) + (10b + a))$.
Теперь упростим каждый из множителей в правой части равенства.
Первый множитель (разность чисел):
$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$.
Второй множитель (сумма чисел):
$(10a + b) + (10b + a) = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b)$.
Перемножим полученные выражения:
$N_1^2 - N_2^2 = 9(a - b) \cdot 11(a + b) = 99(a - b)(a + b)$.
Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами от 1 до 9), то их сумма $(a + b)$ и разность $(a - b)$ также являются целыми числами. Следовательно, их произведение $(a - b)(a + b)$ — это целое число.
Таким образом, выражение $99(a - b)(a + b)$ представляет собой произведение числа 99 на некоторое целое число. По определению делимости, это означает, что разность квадратов $N_1^2 - N_2^2$ всегда делится нацело на 99.
Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами $a$ и $b$, всегда равна $99(a-b)(a+b)$, и так как $(a-b)(a+b)$ является целым числом, это выражение всегда делится на 99.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 14 расположенного на странице 81 к рабочей тетради 2018 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14 (с. 81), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.