Номер 14, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 15. Разность квадратов двух выражений - номер 14, страница 81.

Условие.

14. Докажите, что разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, делится нацело на 99.

Решение.

Пусть одно из этих чисел равно $10a + b$, где $a$ и $b$ — однозначные натуральные числа. Тогда другое число равно

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Пусть даны два двузначных числа, записанных одними и теми же цифрами. Обозначим цифру десятков первого числа как $a$, а цифру единиц как $b$. Тогда первое число $N_1$ можно представить в виде $N_1 = 10a + b$.

Второе число $N_2$, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $N_2 = 10b + a$.

По условию, оба числа являются двузначными. Это накладывает ограничения на цифры $a$ и $b$. Цифра десятков не может быть нулем. Следовательно, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{1, 2, ..., 9\}$. Если бы одна из цифр была равна нулю, то одно из чисел стало бы однозначным (например, если $b=0$, то $N_2 = a$). Также, чтобы числа были разными, необходимо условие $a \neq b$.

Нам необходимо доказать, что разность их квадратов, то есть $N_1^2 - N_2^2$, делится нацело на 99.

Запишем это выражение:
$N_1^2 - N_2^2 = (10a + b)^2 - (10b + a)^2$.

Для упрощения воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = ((10a + b) - (10b + a)) \cdot ((10a + b) + (10b + a))$.

Теперь упростим каждый из множителей в правой части равенства.
Первый множитель (разность чисел):
$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$.
Второй множитель (сумма чисел):
$(10a + b) + (10b + a) = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b)$.

Перемножим полученные выражения:
$N_1^2 - N_2^2 = 9(a - b) \cdot 11(a + b) = 99(a - b)(a + b)$.

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами от 1 до 9), то их сумма $(a + b)$ и разность $(a - b)$ также являются целыми числами. Следовательно, их произведение $(a - b)(a + b)$ — это целое число.

Таким образом, выражение $99(a - b)(a + b)$ представляет собой произведение числа 99 на некоторое целое число. По определению делимости, это означает, что разность квадратов $N_1^2 - N_2^2$ всегда делится нацело на 99.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами $a$ и $b$, всегда равна $99(a-b)(a+b)$, и так как $(a-b)(a+b)$ является целым числом, это выражение всегда делится на 99.