Номер 11, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 15. Разность квадратов двух выражений - номер 11, страница 80.

Условие.

11. Докажите, что значение выражения $2^8 - 1$ делится нацело на 51.

Решение.

$2^8 - 1 = (2^4 - 1)(\quad + \quad) = (2^2 - 1)(\quad + \quad)(\quad + \quad) =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения $2^8 - 1$ делится нацело на 51, разложим данное выражение на множители. Для этого будем последовательно применять формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Представим $2^8 - 1$ как разность квадратов $(2^4)^2$ и $1^2$:

$2^8 - 1 = (2^4)^2 - 1^2 = (2^4 - 1)(2^4 + 1)$

Теперь разложим множитель $(2^4 - 1)$, представив его как разность квадратов $(2^2)^2$ и $1^2$:

$2^4 - 1 = (2^2)^2 - 1^2 = (2^2 - 1)(2^2 + 1)$

Подставим полученное разложение в наше выражение:

$2^8 - 1 = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$

Последний раз применим формулу разности квадратов к множителю $(2^2 - 1)$:

$2^2 - 1 = (2 - 1)(2 + 1)$

Таким образом, итоговое разложение на множители выглядит так:

$2^8 - 1 = (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)$

Вычислим значение каждого из получившихся множителей:

$(2-1) = 1$

$(2+1) = 3$

$(2^2+1) = 4+1 = 5$

$(2^4+1) = 16+1 = 17$

Теперь мы можем записать исходное выражение как произведение этих чисел:

$2^8 - 1 = 1 \times 3 \times 5 \times 17$

Чтобы доказать делимость на 51, сгруппируем множители 3 и 17:

$2^8 - 1 = (3 \times 17) \times 1 \times 5 = 51 \times 5$

Поскольку выражение $2^8 - 1$ можно представить в виде произведения числа 51 и целого числа 5, это доказывает, что $2^8 - 1$ делится нацело на 51.

Ответ: Что и требовалось доказать.