Номер 10, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский


Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: рабочая тетрадь
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2025
Часть: 1, 2
Цвет обложки: синий с папками
ISBN: 978-5-360-09144-8(ч. 1), 978-5-360-09145-5(ч. 2)
Популярные ГДЗ в 7 классе
Параграф 15. Разность квадратов двух выражений. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 10, страница 79.
№10 (с. 79)
Условие. №10 (с. 79)
скриншот условия

10. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:
1) $(n + 11)^2 - (n - 4)^2$ делится нацело на 15;
2) $(9n + 2)^2 - (3n - 2)^2$ делится нацело на 12;
3) $(7n + 10)^2 - (7n - 6)^2$ делится нацело на 32;
4) $(9n + 16)^2 - (2n - 5)^2$ делится нацело на 77.
Решение. 1) Применив формулу разности квадратов, разложим данное выражение на множители:$(n + 11)^2 - (n - 4)^2 = $
Решение 1. №10 (с. 79)




Решение 2. №10 (с. 79)

Решение 3. №10 (с. 79)

Решение 4. №10 (с. 79)

Решение 5. №10 (с. 79)
Для доказательства во всех пунктах используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
1) Докажем, что выражение $(n + 11)^2 - (n - 4)^2$ делится нацело на 15.
Применим формулу разности квадратов, где $a = n + 11$ и $b = n - 4$:
$(n + 11)^2 - (n - 4)^2 = ((n + 11) - (n - 4)) \cdot ((n + 11) + (n - 4))$
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(n + 11 - n + 4) \cdot (n + 11 + n - 4) = 15 \cdot (2n + 7)$
Полученное выражение представляет собой произведение числа 15 и выражения $(2n + 7)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(2n + 7)$ также является целым числом. Произведение 15 на любое целое число всегда делится нацело на 15. Таким образом, исходное выражение делится на 15 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.
2) Докажем, что выражение $(9n + 2)^2 - (3n - 2)^2$ делится нацело на 12.
Применим формулу разности квадратов, где $a = 9n + 2$ и $b = 3n - 2$:
$(9n + 2)^2 - (3n - 2)^2 = ((9n + 2) - (3n - 2)) \cdot ((9n + 2) + (3n - 2))$
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(9n + 2 - 3n + 2) \cdot (9n + 2 + 3n - 2) = (6n + 4) \cdot (12n)$
Так как один из множителей равен $12n$, а $n$ — натуральное число, то этот множитель всегда делится на 12. Следовательно, и все произведение $(6n + 4) \cdot (12n)$ делится нацело на 12 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.
3) Докажем, что выражение $(7n + 10)^2 - (7n - 6)^2$ делится нацело на 32.
Применим формулу разности квадратов, где $a = 7n + 10$ и $b = 7n - 6$:
$(7n + 10)^2 - (7n - 6)^2 = ((7n + 10) - (7n - 6)) \cdot ((7n + 10) + (7n - 6))$
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(7n + 10 - 7n + 6) \cdot (7n + 10 + 7n - 6) = 16 \cdot (14n + 4)$
Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:
$16 \cdot 2(7n + 2) = 32 \cdot (7n + 2)$
Полученное выражение представляет собой произведение числа 32 и выражения $(7n + 2)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(7n + 2)$ является целым числом. Произведение 32 на любое целое число всегда делится нацело на 32. Таким образом, исходное выражение делится на 32 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.
4) Докажем, что выражение $(9n + 16)^2 - (2n - 5)^2$ делится нацело на 77.
Применим формулу разности квадратов, где $a = 9n + 16$ и $b = 2n - 5$:
$(9n + 16)^2 - (2n - 5)^2 = ((9n + 16) - (2n - 5)) \cdot ((9n + 16) + (2n - 5))$
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(9n + 16 - 2n + 5) \cdot (9n + 16 + 2n - 5) = (7n + 21) \cdot (11n + 11)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$7(n + 3) \cdot 11(n + 1) = 77 \cdot (n + 3)(n + 1)$
Полученное выражение представляет собой произведение числа 77 и выражения $(n + 3)(n + 1)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(n + 3)(n + 1)$ является целым числом. Произведение 77 на любое целое число всегда делится нацело на 77. Таким образом, исходное выражение делится на 77 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 79 к рабочей тетради 2018 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10 (с. 79), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.