Номер 10, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 15. Разность квадратов двух выражений - номер 10, страница 79.

Условие.

10. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $(n + 11)^2 - (n - 4)^2$ делится нацело на 15;

2) $(9n + 2)^2 - (3n - 2)^2$ делится нацело на 12;

3) $(7n + 10)^2 - (7n - 6)^2$ делится нацело на 32;

4) $(9n + 16)^2 - (2n - 5)^2$ делится нацело на 77.

Решение. 1) Применив формулу разности квадратов, разложим данное выражение на множители:

$(n + 11)^2 - (n - 4)^2 = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства во всех пунктах используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) Докажем, что выражение $(n + 11)^2 - (n - 4)^2$ делится нацело на 15.

Применим формулу разности квадратов, где $a = n + 11$ и $b = n - 4$:

$(n + 11)^2 - (n - 4)^2 = ((n + 11) - (n - 4)) \cdot ((n + 11) + (n - 4))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(n + 11 - n + 4) \cdot (n + 11 + n - 4) = 15 \cdot (2n + 7)$

Полученное выражение представляет собой произведение числа 15 и выражения $(2n + 7)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(2n + 7)$ также является целым числом. Произведение 15 на любое целое число всегда делится нацело на 15. Таким образом, исходное выражение делится на 15 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что выражение $(9n + 2)^2 - (3n - 2)^2$ делится нацело на 12.

Применим формулу разности квадратов, где $a = 9n + 2$ и $b = 3n - 2$:

$(9n + 2)^2 - (3n - 2)^2 = ((9n + 2) - (3n - 2)) \cdot ((9n + 2) + (3n - 2))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(9n + 2 - 3n + 2) \cdot (9n + 2 + 3n - 2) = (6n + 4) \cdot (12n)$

Так как один из множителей равен $12n$, а $n$ — натуральное число, то этот множитель всегда делится на 12. Следовательно, и все произведение $(6n + 4) \cdot (12n)$ делится нацело на 12 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

3) Докажем, что выражение $(7n + 10)^2 - (7n - 6)^2$ делится нацело на 32.

Применим формулу разности квадратов, где $a = 7n + 10$ и $b = 7n - 6$:

$(7n + 10)^2 - (7n - 6)^2 = ((7n + 10) - (7n - 6)) \cdot ((7n + 10) + (7n - 6))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(7n + 10 - 7n + 6) \cdot (7n + 10 + 7n - 6) = 16 \cdot (14n + 4)$

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$16 \cdot 2(7n + 2) = 32 \cdot (7n + 2)$

Полученное выражение представляет собой произведение числа 32 и выражения $(7n + 2)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(7n + 2)$ является целым числом. Произведение 32 на любое целое число всегда делится нацело на 32. Таким образом, исходное выражение делится на 32 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

4) Докажем, что выражение $(9n + 16)^2 - (2n - 5)^2$ делится нацело на 77.

Применим формулу разности квадратов, где $a = 9n + 16$ и $b = 2n - 5$:

$(9n + 16)^2 - (2n - 5)^2 = ((9n + 16) - (2n - 5)) \cdot ((9n + 16) + (2n - 5))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(9n + 16 - 2n + 5) \cdot (9n + 16 + 2n - 5) = (7n + 21) \cdot (11n + 11)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$7(n + 3) \cdot 11(n + 1) = 77 \cdot (n + 3)(n + 1)$

Полученное выражение представляет собой произведение числа 77 и выражения $(n + 3)(n + 1)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(n + 3)(n + 1)$ является целым числом. Произведение 77 на любое целое число всегда делится нацело на 77. Таким образом, исходное выражение делится на 77 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.